Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)
Krzywa prostowalna ma długość równą długości odcinka prostoliniowego, na który można przekształcić krzywą.Przybliżanie krzywej za pomocą łamanych, zwane rektyfikacją krzywej.
Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.
W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.
Na krzywej zadajemy punktów ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty oraz umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty tj.
gdzie jest długością odcinka o końcach
Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość tej sumy nazywamy długością krzywej , tj.
Dowodzi się, że długość krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą
Krzywą której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).
W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).
Niech będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej :[a,b]\to X,}
nazywana parametryzacją, która każdej liczbie przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie każdego punktu krzywej Oznacza to, że:
A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru
B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru
C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać funkcji parametru
Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali.
W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.
Elipsa
Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi o półosiach oraz jest funkcja :[0,2\pi ]\to X\equiv R^{2},}
mają postać
Funkcja parametrowi jednoznacznie przypisuje jeden punkt elipsy na płaszczyźnie
Spirala logarytmiczna
Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t
gdzie jest promieniem walca, a ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca – parametr krzywej.
Jeśli linia jest prawoskrętna; jeśli linia jest lewoskrętna.
Jeżeli wyznaczy się zależność długości krzywej od ustalonego punktu początkowego do jej dowolnego punktu to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy nazywa się parametrem naturalnym krzywej.
(1)Współrzędne kartezjańskie
Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna wtedy wzór na długość krzywej ma postać:
W granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość
(1) Współrzędne sferyczne
Niech będzie dana krzywa zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie jest kątem mierzonym od dodatniej półosi oraz kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności
Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych
Jeżeli krzywa dana jest przez równań parametrycznych
gdzie – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia wzdłuż krzywej ma postać
Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą, tj.
Długość łuku krzywej jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.
czyli ostatecznie mamy
Uwaga:
Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:
(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)
– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.
Pomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych: