Maxwells forskyvningsstrøm

Maxwells forskyvningsstrøm oppstår når et elektrisk felt varierer med tiden. Selv om den ikke er en vanlig elektrisk strøm som beskriver transport av fysiske ladninger, skaper den likevel et magnetisk felt på samme måte som denne. Ved kjennskap til det elektriske forskyvningsfeltet D = D(r,t) kan den beregnes fra den partialderiverte

${\displaystyle \mathbf {J} _{D}={\partial \mathbf {D} \over \partial t}}$

Gjennom isolasjonen til en kondensator i en elektrisk krets som fører en strøm I, går en forskyvningsstrøm I_D  mellom platene.

som gir den tilsvarende strømtettheten i hvert punkt. Forskyvningsstrømmer kan derfor forekomme overalt hvor tidsvariable, elektriske felt opptrer og derfor også i vakum.

Maxwell innså nødvendigheten av forskyvningsstrømmen i 1861, og den fikk sin endelige form i 1864 i hans ferdigstilling av Maxwells ligninger. Det er denne strømmen som gir opphav til elektromagnetiske bølger og dermed forklarer hva lys og mange andre elektromagnetiske fenomen er.

Matematisk utledning

For en stasjonær strømtetthet J = J(r) kan det magnetiske feltet B = μ H hvor μ er permeabiliteten, beregnes i hvert punkt r fra Ampères sirkulasjonslov^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$

Da divergensen av curl er null, betyr denne ligningen at divergensen til strømtettheten J må være null. Under stasjonære forhold danner strømmen derfor en lukket, elektrisk krets. Men når strømmen varierer med tiden, er ikke dette tilfelle lenger. Da vil derimot J(r,t)  oppfylle kontinuitetsligningen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$

hvor ifølge Gauss' lov ρ = ∇⋅D  er den elektriske ladningstettheten i hvert punkt. Ved å benytte denne sammenhengen, kan derfor sirkulasjonsloven utvides til

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}}$

slik at kontinuitetsligningen er automatisk oppfylt da ∇⋅(∇ × H) = 0. Her er siste ledd på høyre side Maxwells forskyvningsstrøm J_D. Den opptrer på akkurat samme måte som strømmen J av elektriske ladninger.

Generelt kan man skrive forskyvningsfeltet som D = ε₀E + P  hvor ε₀  er den permittiviteten til vakum og P er den elektriske polarisasjonen i materialet feltene befinner seg i.^[1] Forskyvningsstrømmen tar da formen

${\displaystyle \mathbf {J} _{D}=\varepsilon _{0}{\partial \mathbf {E} \over \partial t}+{\partial \mathbf {P} \over \partial t}}$

Mens siste leddet på høyre side representerer strømmen som skyldes forskyvning av bundne ladninger i det polariserte materialet, er det første leddet uavhengig av slike ladninger og er direkte gitt ved det elektriske feltet. Det er den avgjørende delen av forskyvningsstrømmen og den som det er vanskeligst å ha en fysisk forståelse av.

Fysisk begrunnelse

I sine første betraktninger rundt nødvendigheten av en forskyvningsstrøm, benyttet han seg av en mekanisk model for det elektromagnetiske feltet. I denne modellen var det magnetiske feltet tenkt som virvler i gjensidig rotasjon som drev elektriske strømmer mellom seg. Forskyvningsstrømmen er da et tillegg til disse som tilsvarer at virvlene er elastiske og kan derfor til en viss grad deformeres.^[2]

Flatene S₁  og S₂  har samme grense C = ∂S. Mens det gjennom S₁  går en ren ledningsstrøm I, går det gjennom S₂  en ren forskyvningsstrøm I_D.

Senere i sitt store arbeid A treatise on electricity and magnetism fra 1873 hadde han i stor grad forlatt denne modellen og beholdt bare ligningene som han tidligere hadde utledet ved dens hjelp. Her ble det i stedet gitt en mer fysisk begrunnelse for eksistensen av forskyvningsstrømmen.

Ved benyttelse av Ampères sirkulasjonslov for å beregne magnetfeltet fra en elektrisk strøm, skal den omsluttes av en lukket integrasjonskurve C som er randen til en flate S, noe som skrives som C = ∂S. Men for en gitt kurve C finnes det en uendelighet av forskjellige flater som har denne som rand. Og loven sier ikke noe om hvilken av disse som skal benyttes. Det betyr at alle må være like gode.

Med dette for øye kan man betrakte oppladning av en kondensator bestående av to parallelle plater. Den blir da tilført en strøm I som øker med tiden. Det medfører at elektriske ladninger bygges opp på platene slik at det elektriske feltet mellom dem øker. Man kan nå beregne magnetfeltet rundt den elektriske ledningen utenfor kondensatoren fra sirkulasjonsteoremet ved å omgi den med en integrasjonssirkel med radius r. Hvis denne sirkelen er omkretsen til en sirkelformet flate S₁, vil det gjennom flaten gå en total strøm som er akkurat I. Magnetfeltet er derfor bestemt ved ligningen 2π rB = μ₀I som gir

${\displaystyle B={\mu _{0}I \over 2\pi r}}$

Men hvis man i stedet velger en annen flate S₂  som går gjennom rommet mellom kondensatorplatene og med samme sirkel som rand, går det ingen ladningsstrøm gjennom denne. Det er her forskyvningsstrømmen kommer inn. Hvis hver plate har arealet A og en økende ladning Q, er det elektriske forskyvningsfeltet mellom dem D = Q/A fra Gauss' lov. Det gir forskyvningsstrømmen I_D = A∂D/∂t = dQ/dt  som er akkurat strømmen I  i ledningen. Denne alternative flaten i sirkulasjonsteoremet gir derfor samme resultat for magnetfeltet.^[3]

Herav følger også at magnetfeltet ikke bare utenfor ledningen har denne verdien, men at det også eksisterer et sirkulært magnetfelt utenfor kondensatoren med samme verdi. Mellom platene er det ikke konstant, men kan beregnes ved å anta at det elektriske feltet der er uniformt konstant. Har platene radius a, er den delen av forskyvningsstrømmen som en sirkel med radius r < a omslutter, gitt som I_r = I_D (r/a)². Sirkulasjonloven gir da på samme måte magnetfeltet

${\displaystyle B={\mu _{0}Ir \over 2\pi a^{2}},\;\;\;r\leq a}$

mellom platene. Det er null i sentrum r = 0 av kondensatoren og går kontinuerlig over i feltet utenfor. Når kondensatoren er fullt ladet, opphører strømmen og magnetfeltet blir null.

Elektromagnetiske bølger

I vakum uten elektriske strømmer og ladninger gjelder Faradays induksjonslov ∇ × E = - ∂B/∂t  sammen med ∇⋅E = ∇⋅B = 0. Ved å ta curl av den første ligningen hvor man kan benytte den vektoranalytiske identiteten ∇ × (∇ × E) = ∇ (∇⋅E) - ∇²E  sammen med Maxwell-ligningen ∇ × H = ∂D/∂t  som inneholder forskyvningsstrømmen hvor B = μ₀H  og D = ε₀E , blir resultatet bølgeligningen

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-\varepsilon _{0}\mu _{0}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}\right)\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=0}$

hvor

${\displaystyle {\sqrt {1 \over \varepsilon _{0}\mu _{0}}}=299\,792\,458\;{\text{m}}/{\text{s}}}$

er lyshastigheten i vakum. Det magnetiske feltet oppfyller samme ligning. At elektromagnetiske bølger skulle bevege seg med lysets hastighet, overbeviste Maxwell at hans ligninger var korrekte og at han hadde funnet en forklaring på hva lys virkelig er.^[2]

Et tilsvarende verdi for hastigheten til elektromagnetiske bølger var funnet noe tidligere av Gustav Kirchhoff som ikke kjente til forskyvningsstrømmen. Men da han benyttet seg av ladningsbevarelse i form av kontinuitetsligningen som er ekvivalent med denne, kunne han likevel komme frem til et lignende resutat.^[4]

Se også

• Elektrisk strøm
• Elektromagnetisk felt
• Maxwells ligninger

Referanser

1. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
2. D.M. Siegel, Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current and Light, Cambridge University Press, Cambridge (2003). ISBN 0-521-53329-5.
3. O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.
4. O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press, Oxford (2000). ISBN 0-19-850593-0.

Eksterne lenker

• R. Fitzpatrick, U. Texas, The displacement current, web-forelesninger om elektromagnetisme.