Algebra

Algebra (frå arabisk: al-jabr «foreining, kombinasjon») er ei grein av matematikken som i den enklaste og eldste forståinga vert definert som læra om likningar og rekning med tal og variablar, men vert i dag oppfatta meir generelt om studiet av algebraiske system og avbildingar av slike. Algebra omfattar gruppeteori, transformasjons- og invariant-teori, ideal- og ringteori, kroppteori og eliminasjon, med bruk på algebraisk geometri, talteori og algebraiske funksjonar.

Omgrepet vart først nytta av den persiske matematikaren al-Khwarizmî, som nytta ordet om den handlinga han gjorde då han forenkla ei likning

Algebra har opphavet sitt i berekningar for det praktiske livet, til dømes frå bankverksemd og navigasjon, særleg i Italia i renessansen. Tidlegare vart matematikken stort sett uttrykt verbalt. Det var arabarane som utvikla den greske matematikken i retning av ein formelbasert stil. På 1400- og 1500-talet var det stor variasjon og lite semje mellom matematikarar om symbolbruken. Likskapsteiknet vart første gong brukt i England, medan «+» og «-» stammar frå Tyskland. På Descartes si tid var algebraen likevel etablert med ein notasjon som liknar mykje på dagens. På Newtons tid kan ein seia at algebraen var godt etablert som ei eiga grein av matematikken.

Historie

Algebraen utvikla seg frå eit ønske om å løyse likningar, og frå gammalt av har ordet vorte omsett med «læra om likningar». I skulen fokuserer ein mest på manipulering av bokstavuttrykk og løysning av likningar. Det er vanleg å skilje mellom dei tre ulike stadia i algebraen si historie: retorisk algebra, synkopert algebra og symbolsk algebra.

Retorisk algebra

Retorisk algebra knyter vi gjerne til perioden fram til den greske matematikaren Diofant som levde kring 250 e.Kr., men i mange kulturar går perioden enno lenger fram. På denne tida vart alle matematiske oppgåver skrivne med vanlege ord. Der me ville nytta x og y i dag nytta ein fulle setningar for å forklare samanhengane. Retorisk algebra stammar frå Egypt og Mesopotamia for omkring 4000 år sidan. Hovudkjelda frå den egyptiske matematikken er Moskva-papyrusen og Rhind-papyrusen. Mange av dei praktiske problema frå denne papyrusen leier til enkle lineære likningar. Egyptarane hadde metodar for å løyse båe lineære likningar og andregradslikningar.

Kunnskapen me har om matematikk i det gamle Mesopotamia har me hovudsakleg frå funn av ei rekke leirtavler. Omkring 2000 f.Kr. hadde babylonarane utvikla ein retorisk algebra. Dei kunne blant anna løyse andregradslikningar ved å lage fullstendige kvadrat. Elles nytta dei ein metode som bestod av gjentatte gjettingar og justeringar. Me finn retorisk algebra i andre kulturar òg, til dømes i Kina og den greske antikken.

Al-Khwârismî og andre arabiske matematikarar vert òg knytte til den retoriske tradisjonen, og dei nytta heller ikkje bokstavsymbol i matematikken sin. Hjå Leonardo av Pisa var stilen òg retorisk.

Synkopert algebra

Perioden med synkopert algebra går frå Diofant og fram til Francois Viète på slutten av 1500-talet. Difoant var den første som nytta symbol for ukjente storleikar, og var ymse slags forkortingar i ei elles retorisk framstilling av dei matematiske problema.

Frå Diofant og fram mot Viète var det ei forsiktig utvikling av symbolbruk blant matematikarane. I Europa i renessansen byrja utviklinga av symbolbruk å utvikla seg noko raskare, og dei italienske reknemeistrane byrja å nytta forkorting for ukjente faktorar. På slutten av 1500-talen var det vanleg å nytte bokstavane «p» og «m» som symbol for pluss og minus, medan tyskaren Johannes Regiomontanus truleg var den første som nytta symbola + og – i ein tekst frå 1456. Likskapsteiknet vart innført i 1557 av Robert Recorde, og Leibniz innførte prikksymbolet for multiplikasjon i 1686. I 1659 vart det første divisjonsteiknet trykt i ei bok av Johann Henrich Rahn.

Symbolsk algebra

Interessa for matematikk voks i Europa mot slutten av mellomalderen, og verka til dei gamle meistrane vart etter kvart oppdaga att. I renessansen blomstra den europeiske matematikken opp, blant anna med dei italienske reknemeistrane som kunne løyse likningane av båe tredje og fjerde grad. Det var i denne perioden den algebraiske symbolbruken byrja å utvikla seg fram mot vår «moderne» notasjon. Den franske matematikaren Francois Viète vert rekna for å innleie den perioden som me kallar for symbolsk algebra. Han nytta abstraksjon, symbolbruk og notasjon som gjorde algebraen mykje lettare tilgjengeleg for dei matematikarane som følgde etter. Den symbolske algebraen la også grunnlaget for store framsteg i utviklinga av funksjonsomgrepet og analytisk geometri

På 1600-talet grunnla Rene Descartes den analytiske geometrien, som me kan sjå på som bruken av algebra på geometri. I det same hundreåret gjorde Pierre de Fermat fleire oppdagingar innanfor talteorien, som ein kan skildre som algebra brukt i studia av eigenskapane til heiltala. I hundreåret etter finn me mellom anna arbeida til Isaac Newton og Leonhard Euler, og i 1799 offentleggjorde Carl Friedrich Gauss sitt berømte bevis for at ei algebraisk likning av n-te grad har «n» røter. I 1824 publiserte den norske matematikaren Niels Henrik Abel den fyrste av sine banebrytande arbeid innanfor algebra; beviset for at det er umogleg å løyse allmenne likningar av høgare enn 4. grad gjennom rotutdraging.

Seinare kjente namn innanfor algebraen er Évariste Galois, Charles Hermite og Leopold Kronecker.

Hovudområde i algebra

Algebraen vert delt inn i tre delar, den retoriske, den synkoperte og den symbolske algebraen. Desse tre periodane har kvar gjort sitt for utviklinga av algebraen. Ettersom den første delen kom frå Egypt, er det naturleg av me kjem over uttrykk som regula falsi (gjett og juster) som var den måten dei laga likningane på.

Ei anna inndeling er :

• Elementær algebra, der ein ser på eigenskapane det reelle talsystemet. Her studerer ein reglane som gjeld for matematiske uttrykk og likningar med symbol. Symbola nemner konstantar og variablar.
• Analyse av funksjonar, der ein studerer formlar, tabellar og grafar.
• Abstrakt algebra, der algebraiske strukturar som grupper, ringar, og kroppar vert studert.
• Lineær algebra, som er den delen av matematikken som tek føre seg vektorar og lineære transformasjonar.
• Universell algebra, der ein ser på eigenskapane som er felles for alle dei algebraiske strukturane.
• Datamaskinalgebra, der ein ser på algoritmer for symbolsk handsaming av matematiske element.
• Boolsk algebra, der hovudfunksjonane er «true» og «false» («sann» og «usann»).

Praktisk algebra

Dei tre kvadratsetningane gjer somme berekningar litt enklare å ta som hovudrekning.

Bakgrunnsstoff

• Algebraens historie Arkivert 2007-01-17 ved Wayback Machine. - Av Elna Svege (Høgskolen i Agder) og Steinar Thorvaldsen (Høgskolen i Tromsø)