Правоаголник

Правоаголник
Правоаголник е четириаголник со 4 еднакви агли (по 90°)
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Шлефлиев симбол	{4}
Коксетер–Динкинови дијаграми
Група на симетрија	D2, C2
Плоштина	а·b
Внатрешен агол	90°
Обем	2a+2b
Својства	испакнат

Во геометријата, правоаголник е рамна, т.е. дводимензионална геометриска фигура со четири прави агли.^[1][2]

• Формално, правоаголник се дефинира како паралелограм со еден внатрешен прав агол. (Бидејќи правоаголник е паралелограм, спротивните агли се складни, а соседните агли се суплементни. Ако еден агол е прав, следува дека сите 4 агли се прави.)
• Основна регулатива: Правоаголник е потполно определeн со должините на две соседни страни.

Формули и особини за правоаголник

Нека е даден правоаголник со соседни страни a и b. Во долунаведените формули точката · означува множење.

Периметар

${\displaystyle L=2\cdot a+2\cdot b}$

Плоштина^[3]

${\displaystyle P=a\cdot b=ab}$

Дијагонала

Дијагоналите на правоаголник се исти и   ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Доказ: Со Питагоровата теорема.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=d^{2}\,\,\Rightarrow \,\,d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Следува и од формулите за дијагоналите на паралелограм бидејќи α=90° така штоcos(α)=cos(90°)=0.

Пример: Нека е даден правоаголник со страна a=3 км и b=4 км. Тогаш, периметарот e L=2·a+2·b=2·3 км+2·4 км=14 км. Плоштината е P=a·b=3 км·4 км=12 км² (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=√(3²+4²)km=√(25)km=5 км.

Правоаголник има 4 прави агли.	Дијагоналите се складни.	Дијагоналите го делат правоаголникот на 2 пара складни триаголници. Меѓутоа, сите 4 триаголници ја имаат истата плоштина. (Доказ: 8-те се складни.)
Дијагоналите се преполовуваат.	Средни линии се оски на осна симетрија.		Правоаголник има опишана кружница.

• Бидејќи секој правоаголник е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
• Бидејќи секој правоаголник има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
• Бидејќи секој правоаголник е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.

Карактеризации на правоаголник

Четириаголник е правоаголник ако и само ако кој било од следните искази и вистинит.

• Паралелограм e со еден внатрешен агол по 90°.
• Четирите внатрешни агли се по 90°.
• Дијагоналите се еднакво должни.

Впишана и опишана кружница на правоаголник

• Правоаголник нема впишана кружница освен ако е квадрат.
• Правоаголник е тетивен четириаголник, т.е. има опишана кружница таква да сите четири темиња на квадратот се точки на кружницата.

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден испакнат четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180°. Значи правоаголник е тетивен четириаголник.^[4]

Формула: Полупречникот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d на правоаголник, односно

${\displaystyle R={\frac {d}{2}}={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}}}$

Симетрија

• Правоаголник има осна симетрија во однос на своите две средни линии, т.е. отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни се оски на симетрија.
• Правоаголник има вртежна симетрија од 2-ти ред, т.е. ако го ротираме правоаголникот ^360°/₂=180° се добива истиот правоаголник.^[5]

Обопштување на правоаголник

• Обопштување во 3Д: Квадар е полиедар со 6 страни, секоја од која е правоаголник.

Златен правоаголник

Златен правоаголник а правоаголник со должина на страните во златен сооднос, 1: ${\displaystyle \varphi \,}$ (еден спрема фи), т.е. ${\displaystyle 1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ или околу 1:1.618. (Види златен правоаголник.)

Совршен правоаголник

Правоаголникот може да се конструира од низа квадрати. Правоаголникот што може да се конструира од квадрати со различна големина се нарекува 'совршен правоаголник'. Кога ова не е можно, тој е несовршен правоаголник.^[6]

Наводи

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 689. Посетено на 1 септември 2013.
2. „Правоаголник“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
3. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 117.
4. Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
5. Stapel, Elizabeth. „"Symmetry about an Axis"“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. анимиран
6. Weisstein, Eric W. (2013). „Совршен правоаголник“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

• Квадрат, Ромб, Паралелограм, Трапез
• Четириаголник, Многуаголник
• Квадар
• Златен правоаголник
• Совршен правоаголник

Надворешни врски

• Стојановска, Л. (2010). „Правоаголник“. Архивирано од изворникот на 2013-09-14. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Периметар на правоаголник“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Плоштина на правоаголник“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Златен правоаголник“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• Weisstein, Eric W. (2013). „Правоаголник“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.

• Портал: Математика