From Wikipedia, the free encyclopedia
Plakne ir virsma, kas satur katru taisni, kura savieno jebkurus divus tās punktus. Plakne ir viens no trim ģeometrijas nedefinējamiem pamatobjektiem, kuru īpašības tiek netieši aprakstītas ar ģeometrijas aksiomām.
Plakne ir divdimensionāls analogs punktam (kam ir nulle dimensijas), taisnei (kam ir viena dimensija) un telpai (kam ir trīs dimensijas).
Plakne ir svarīgs ģeometrijas jēdziens, jo tā ļauj definēt daudzus citus ģeometriskus objektus, piemēram, Dekarta koordinātu sistēmu un plaknes figūras - trijstūri, četrstūri, riņķi, utt.
Ģeometrijas nozari, kas pētī figūru un konfigurāciju īpašības plaknē, sauc par planimetriju.
Eiklīda telpā plakni apraksta vispārīga veida lineārs vienādojums
kur a, b, c un d ir reāli skaitļi, turklāt vismaz viens no skaitļiem a, b, c nav vienāds ar nulli. Vektors ir šīs plaknes normālvektors. Tas nozīmē, ka vektors ar šādām koordinātām ir perpendikulārs plaknei ar augstākminēto vienādojumu.
Trīsdimensiju telpā svarīgs veids, kā definēt plakni ir norādot plaknes punktu un plaknes normālvektoru.
Pieņemsim, ka ir rādiusvektors kādam punktam plaknē, un n ir nenulles vektors, kas perpendikulārs plaknei. Ideja ir tāda, ka punkts P ar rādiusvektoru r atrodas plaknē tad un tikai tad, kad vektors, kas vilkts no uz P ir perpendikulārs n. Izmantojot to, ka divi vektori ir perpendikulāri tad un tikai tad, kad to reizinājums ir nulle, iegūsim, ka meklētā plakne var tikt izteikta kā kopa no visiem punktiem r tādiem, ka
(punkts apzīmē parasto reizināšanu, nevis skalāro reizināšanu). To izvēršot, iegūsim
kas ir jau zināmais plaknes vienādojums.
Plaknei un punktam , kas ne obligāti atrodas plaknē, īsākais attālums no līdz plaknei ir vienāds ar
No tā seko, ka atrodas plaknē tad un tikai tad, kad .
Ja , kas nozīmē, ka a, b, un c ir normalizēti, tad formula kļūst vienkāršāka:
Plaknes vispārinājumu lielāka skaita dimensiju telpā sauc par hiperplakni.