Reāls skaitlis

Reālie skaitļi ir visbiežāk lietotais skaitļu veids. Ikdienā tie tiek izmantoti, lai mērītu garumu, masu, laiku un citus fizikālus lielumus. Matemātikā tie ir nepieciešami, lai aprakstītu sakņu, logaritmu un trigonometrisko funkciju vērtības. Reāli skaitļi ir, piemēram, 0, 2, −1/3, √2, ln 2, π un e. Intuitīvi reālie skaitļi atbilst punktiem uz bezgalīgas taisnes.

Visu reālo skaitļu kopa ir bezgalīga un nesanumurējama. To apzīmē ar simbolu $\scriptstyle \mathbb {R}$ . Reālos skaitļus var iedalīt divos veidos:

racionāli / iracionāli skaitļi,
algebriski / transcendenti skaitļi.

Visas četras šīs kopas ir bezgalīgas, taču racionālo un algebrisko skaitļu kopas ir sanumurējamas.

Jebkuru reālu skaitli var pierakstīt kā bezgalīgu decimāldaļskaitļi, piemēram, 2 = 2,0000…, 1/3 = 0,3333… un √2 = 1,4142…. Racionālie skaitļi atbilst tieši tiem reāliem skaitļiem, kuriem eksistē galīgs decimālais pieraksts, piemēram, 1/4 = 0,2500… = 0,25, vai arī bezgalīgs periodisks decimāldaļskaitlis, piemēram, 1/3 = 0,3333….

Interesanti, ka to racionālo skaitļu, kuri ir izsakāmi kā galīgs decimāldaļskaitlis, decimālais pieraksts nav viennozīmīgi noteikts. Jebkuru šādu skaitli var pierakstīt tieši divos dažādos veidos — gan kā galīgu, gan kā bezgalīgu periodisku decimāldaļskaitli. Piemēram, 1 = 1,0000… = 0,9999…, 1/4 = 0,25 = 0,249999...

Lai kādi būtu divi dažādi reāli skaitļi $a\$ un $b\$ , vienmēr ir bezgalīgi daudz tādu reālu skaitļu, kā racionālu, tā iracionālu, kuri atrodas starp $a\$ un $b\$ .

Jebkuriem diviem reāliem skaitļiem $x\$ un $y\$ ir spēkā tieši viena no sakarībām: $x=y\$ , $x<y\$ vai $x>y\$ . Tas nozīmē, ka šī kopa ir sakārtota.
Reālo skaitļu kopa ir neierobežota — tai nav ne vismazākā, ne vislielākā elementa.
Reālo skaitļu kopa ir bezgalīga (tajā ietilpst bezgalīgi daudz reālo skaitļu).
Reālo skaitļu kopā ir definētas šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana (izņemot dalīšana ar nulli), saknes aprēķināšana (izņemot pāra pakāpes sakni no negatīva skaitļa).
Starp jebkuriem diviem dažādiem reāliem skaitļiem atrodas bezgalīgi daudz citu reālu skaitļu; šo īpašību sauc par reālo skaitļu kopas blīvuma īpašību.
Reālo skaitļu kopa ir nepārtraukta.
Reālo skaitļu kopas apjoms ir lielāks par naturālo skaitļu kopas apjomu.

Matemātikā bieži lieto reālo skaitļu kopas apakškopas, kuras sauc par intervāliem.

Bez reālajiem skaitļiem eksistē arī daži skaitļu vispārinājumi, kas vairs nav reāli skaitļi, piemēram, kompleksie skaitļi un kvaternioni.

Pamatraksts: Absolūtā vērtība

Par reāla skaitļa a absolūto vērtību jeb moduli sauc skaitli a bez zīmes un to apzīmē ar |a|. Formāli, ja a ≥ 0, tad |a| = a, bet ja a < 0, tad |a| = −a. Piemēram, |+3| = 3 un |−3| = −(−3) = 3. No definīcijas seko, ka nevienādība |a| ≤ b ir līdzvērtīga nevienādībai −b ≤ a ≤ +b, kas pie fiksēta b < 0 apraksta intervālu garumā 2b.

Reālu skaitļu absolūtajai vērtībai piemīt šādas īpašības:

Summas absolūtā vērtība nav lielāka par saskaitāmo absolūto vērtību summu: $|a+b|\leq |a|+|b|\$ . Piemēram, $|-6+4|<|-6|+|4|\$ , jo $|-6+4|=2\$ , bet $|-6|+|4|=10\$ .
Starpības absolūtā vērtība nav mazāka par mazināmā un mazinātāja absolūto vērtību starpību: $|a-b|\geq |a|-|b|\$ . Piemēram, $|4-6|>|4|-|6|\$ , jo $|4-6|=2\$ , bet $|4|-|6|=-2\$ .
Reizinājuma absolūtā vērtība ir vienāda ar reizinātāju absolūto vērtību reizinājumu: $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|\$ .
Dalījuma absolūtā vērtība ir vienāda ar dalāmā un dalītāja absolūto vērtību dalījumu: $|{\frac {a}{b}}|={\frac {|a|}{|b|}}\$ .