Apskritimas

Euklidinėje geometrijoje apskritimas – aibė visų plokštumos taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo vieno taško, vadinamo apskritimo centru.

Apskritimas ir su ja susijusios tiesės.

Pagrindinės sąvokos

• Apskritimo centras - taškas, nuo kurio vienodai yra nutolę visi apskritimo taškai. Paveiksle pažymėtas ${\displaystyle O}$ raide.
• Apskritimo spindulys - atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo apskritimo tašku. Paveiksle pažymėtas ${\displaystyle R}$ raide.
• Skersmuo - atkarpa, jungianti du apskritimo taškus per apskritimo centrą. Paveiksle pažymėtas ${\displaystyle d}$ raide. Jo ilgis yra du kartus didesnis už spindulį.
• Apskritimo ilgis (perimetras) - apskritimo kontūras ir jo ilgis. Paveiksle pažymėtas ${\displaystyle C}$ raide. Apskaičiuojamas pagal formulę ${\displaystyle C=2\pi R\,\!}$

Lanko, kaip realaus daikto sulyginimas su apskritimo elementais: apskritimo dalis tarp dviejų jo taškų - lankas, styga atitinka lanko virvę (templę), stygai statmena atkarpa - strėlė.

• Styga - atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Skersmuo yra maksimalaus ilgio styga. Paveiksle pažymėta žalia spalva. Jei ji eitų per centrą, tai būtų didžiausia virvė, t. y. skersmuo.
• Lankas - apskritimo dalis tarp dviejų jo taškų. Paveiksle pažymėta mėlyna spalva. Apskritimo lankas, susietas su skersmeniu, vadinamas pusapskritimiu.
• Strėlė - stygai statmena atkarpa, dalijanti lanką ir stygą į lygias dalis. Paveiksle pažymėta raudona spalva.
• Pusapskritimis - lankas, kurio galus jungianti atkarpa (styga) yra apskritimo skersmuo.^[1]

Taškas, nutolęs nuo apskritimo centro už spindulį mažesniu atstumu, vadinamas tašku apskritimo viduje, o taškas, nuo apskritimo centro nutolęs didesniu už spindulį atstumu, vadinamas tašku apskritimo išorėje.

Apskritimo ribojama plokštumos dalis vadinama skrituliu.

Apskritimo lygtis

Apskritimas yra antros eilės kreivė, kurios lygtis stačiakampėje (Dekarto) koordinačių sistemoje, kai centro koordinatės (a, b), o spindulys r, užrašoma formule:

${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$.

Ši lygtis vadinama bendrąja apskritimo lygtimi.

Apkritimo, kurio centras yra koordinačių pradžios taške (0, 0), lygtis yra:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$. Ši lygtis vadinama kanonine apskritimo lygtimi.

Apskritimas yra atskiras elipsės atvejis.

Polinėje koordinačių sistemoje apskritimo koordinatės x ir y išreiškiamos taip:

x = a + r· cos(φ),

y = b + r· sin(φ).

Apibrėžtinis apskritimas

Pagrindinis straipsnis – Apibrėžtinis apskritimas.

Apskritimas, kuris eina per visas daugiakampio viršūnes, vadinamas apibrėžtiniu apskritimu, o daugiakampis vadinamas įbrėžtiniu daugiakampiu.

Apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti vienintelį apskritimą. Iš to galima daryti išvadą, kad vienintelį apskritimą galima nubrėžti ir per bet kuriuos tris plokštumos taškus, nesančius vienoje tiesėje.

Apie trikampį apibrėžto apskritimo centras yra to trikampio kraštinių vidurio statmenų susikirtimo taškas.

Apibrėžto apie trikampį apskritimo spindulio formulė: ${\displaystyle r={\frac {abc}{4S}}}$

Apskritimą apibrėžti galima tik apie tą keturkampį, kurio priešingųjų kampų suma lygi 180°.

Apie kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima apibrėžti vienintelį apskritimą.

Įbrėžtinis apskritimas

Apskritimas, kuris liečia visas daugiakampio kraštines, vadinamas įbrėžtiniu apskritimu, o daugiakampis vadinamas apibrėžtiniu daugiakampiu.

Į trikampį galima įbrėžti vienintelį apskritimą. Į trikampį įbrėžto apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių susikirtimo taške.

Į keturkampį galima įbrėžti apskritimą tik tuomet, kai keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios.

Į kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima įbrėžti vienintelį apskritimą.

Įbrėžtinio apskritimo spindulys: ${\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}}$

Apskritimo ir tiesės tarpusavio padėtis

Tiesė ir apskritimas gali neturėti bendrų taškų (a), gali turėti vieną bendrą tašką (b) arba du bendrus taškus (c).

Apskritimo kirstinė

Tiesė, turinti su apskritimu du bendrus taškus, vadinama apskritimo kirstine.

Kirstinės savybės:

• Vienodai nuo centro nutolusių kirstinių ilgiai yra lygūs.
• To paties ilgio kirstinės visada yra vienodai nutolusios nuo centro.
• Kirstinei statmenas apskritimo spindulys dalija ją pusiau.
• Atkarpa, jungianti kirstinės vidurio tašką ir apskritimo centrą, yra statmena šiai kirstinei.
• Kirstinės vidurio statmuo eina per apskritimo centrą.

Apskritimo liestinė

Tiesė, turinti su apskritimu vieną bendrą tašką, vadinama apskritimo liestine.

Liestinės savybės:

• Liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką (${\displaystyle l\perp R}$).
• Per lietimosi tašką išvestas liestinės statmuo eina per apskritimo centrą.
• Iš bet kurio apskritimo išorėje esančio taško galima nubrėžti tik dvi skirtingas apskritimo liestines.
• Iš to paties plokštumos taško nubrėžtų apskritimo liestinių atkarpos (nuo taško, esančio apskritimo išorėje, iki lietimosi taškų) yra lygios (AC = BC).

Dviejų apskritimų tarpusavio padėtis

Du plokštumos apskritimai, kurių centrai sutampa, vadinami koncentriniais (a). Du koncentriniai apskritimai, kurių spinduliai vienodi, sutampa, o koncentriniai apskritimai su skirtingais spinduliais bendrų taškų neturi (a).

Du nekoncentriniai apskritimai plokštumoje gali neturėti bendrų taškų (b ir c), gali turėti vieną bendrą tašką (d ir e) arba du bendrus taškus (f).

Dviejų apskritimų lietimosi taškas priklauso jų centrus jungiančiai tiesei.

Centrinis kampas

Centrinis kampas

Pagrindinis straipsnis – Centrinis kampas.

Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre, o kraštinės kerta apskritimą, vadinamas centriniu kampu.

Centrinio kampo, nedidesnio už pusapskritimį, laipsninis matas yra lygus jį atitinkančio apskritimo lanko laipsniniam matui. Centrinis kampas, kuris remiasi į pusapskritimį, yra ištiestinis ir jo laipsninis matas lygus 180 laipsnių. 1 rad dydžio centrinis kampas yra toks kampas, kurio lanko ilgis l lygus jo spinduliui R arba ${\displaystyle l=R}$.^[2]

Skritulio išpjovos AOB plotas yra:

${\displaystyle S_{AOB}={\frac {\alpha \pi r^{2}}{360}}.}$

Skritulio trikampio AOB plotas yra:

${\displaystyle S_{\Delta }={\frac {r^{2}\cdot \sin \alpha }{2}},}$

kur r yra skirtulio spindulys, o ${\displaystyle \alpha }$ yra išpjovos kampas AOB.

Išvesime trikampio AOB ploto radimo formulę. Mums prireiks šios ${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }$ trigonometrinės formulės.

Iš apskritimo centro nuleista aukštinė h į trikampio pagrindą AB yra lygi ${\displaystyle h=r\cos {\frac {\alpha }{2}}.}$

Trikampio AOB pagrindo AB ilgis lygus ${\displaystyle AB=m=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}.}$

Trikampio AOB plotas lygus ${\displaystyle S_{\Delta }={\frac {mh}{2}}={\frac {2r\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot r\cos {\frac {\alpha }{2}}}{2}}={\frac {r^{2}\cdot \sin \alpha }{2}}.}$

Skritulio nuopjovos AB plotas yra:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha \pi }{360}}-{\frac {\sin \alpha }{2}}\right)r^{2}=\left({\frac {\alpha }{2}}-{\frac {\sin \alpha }{2}}\right)r^{2}.}$

Įbrėžtinis kampas

Pagrindinis straipsnis – Įbrėžtinis kampas.

Įbrėžtiniai kampai ACB ir ADB yra lygūs, nes remiasi į tą patį lanką

Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą, vadinamas įbrėžtiniu kampu.

Įbrėžtinio kampo laipsninis matas yra lygus pusei jį atitinkančio apskritimo lanko laipsninio mato.

Įbrėžtinio kampo savybės:

• Įbrėžtiniai kampai, besiremiantys į tą patį lanką yra lygūs.
• Įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į pusapskritimį, yra statusis.
• Įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, besiremiančio į tą patį lanką.

Taip pat skaitykite

• Geometrinė figūra
• Kūgio pjūvis
• Skritulys
• Sfera
• Skritulio kvadratūra
• Vienetinis apskritimas

Termino kilmė

Terminą apskritimas lietuvių kalboje įvedė Jonas Jablonskis.

Šaltiniai

1. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 54 p. ISBN 5-430-03617-X
2. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis X klasei ir gimnazijų II klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2002. – 94 p. ISBN 5-430-034xx-x