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작은 별모양 십이면체
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기하학에서 작은 별모양 십이면체(small stellated dodecahedron)는 아서 케일리에 의해서 이름이 지어졌고 슐레플리 기호가 {5/2,5}인 케플러-푸앵소 다면체이다. 이것은 비볼록 정다면체 네 개 중 하나이다. 이것은 오각성 면 12개로 각 꼭짓점에 5개가 만나게 이루어져 있다.
자세한 정보 작은 별모양 십이면체 ...
작은 별모양 십이면체 | |
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종류 | 케플러-푸앵소 다면체 |
별모양화 중심 | 정십이면체 |
원소 | F = 12, E = 30 V = 12 (χ = -6) |
면의 수{변의 수} | 125 |
슐레플리 기호 | {5/2,5} |
면 배치 | V(55)/2 |
위토프 기호 | 5 | 25/2 |
콕서터 다이어그램 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
대칭군 | Ih, H3, [5,3], (*532) |
참조 | U34, C43, W20 |
특성 | 정다면체 비볼록 |
![]() (5/2)5 (꼭짓점 도형) |
![]() 큰 십이면체 (쌍대다면체) |
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이것은 볼록 정이십면체와 같은 꼭짓점 배열을 가진다. 이것은 또한 큰 이십면체와 같은 모서리 배열을 가진다.
이것은 정십이면체의 네 별모양화 중 두 번째이다.
오각성 면을 삼각형 면 5개로 생각하면, 이것은 오방십이면체와 같은 표면 위상을 가지지만, 높이가 오각성에 있는 삼각형 다섯 개가 동일 평면에 있는 별 오각뿔의 높이인 이등변삼각형 면을 가진다.
이것을 모서리 30개와 꼭짓점 12개에서 만나는 오각성 12개를 면으로 가진다고 생각하면, 이것을 오일러 공식을 이용해서 종수를 계산할 수 있다:
그리고 작은 별모양 십이면체는 종수가 4라는 것을 결론지을 수 있다. 루이 푸앵소에 의해서 이뤄어진 이 관측은 처음에는 혼란스러웠지만, 펠릭스 클라인이 1877년에 작은 별모양 십이면체는 분지점을 각 오각성의 중심에 갖고 있는 종수가 4인 리만 곡면으로 리만 구를 가지 덮기하고 있는 것으로 볼 수 있다는 것을 밝혔다. 사실 브링의 곡선으로 불리는 이 리만 곡면은 종수가 4인 어떤 리만 곡면의 대칭 수 보다도 가장 많은 대칭 수를 가지고 있다: 대칭군 는 자기 동형 사상처럼 행동한다[1]