연산 (수학)

수학에서 연산(演算, 영어: operation)은 공집합이 아닌 집합에서, 집합에 속하는 임의의 두 원소로부터 제3의 원소를 만드는 것이다. 또는, 연산자의 정의에 따라 한 개 이상의 피연산자를 계산하여 하나의 결과값(답)을 구하는 것이다. 피연산자 또는 항이 하나일 때 단항연산, 두 개일 때 이항연산, n개일 때 n항 연산이라고 한다.

정의

집합 ${\displaystyle S}$와 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle S}$ 위의 ${\displaystyle n}$항 연산(${\displaystyle n}$項演算, 영어: n-ary operation)은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle F\colon S^{\times n}\to S}$

즉, 이는 임의의 ${\displaystyle S}$ 위의 ${\displaystyle n}$조 ${\displaystyle {\vec {s}}\in S^{\times n}}$를 유일한 ${\displaystyle S}$의 원소 ${\displaystyle F({\vec {s}})\in S}$에 대응시킨다. 특히, ${\displaystyle S}$ 위의 영항 연산(零項演算, 영어: 0-ary operation)은 ${\displaystyle S}$의 원소 ${\displaystyle s\in S}$이다. ${\displaystyle S}$ 위의 일항 연산(一項演算, 영어: unary operation) 또는 단항 연산(單項演算)은 ${\displaystyle S}$ 위의 함수 ${\displaystyle S\to S}$이다. ${\displaystyle S}$ 위의 이항 연산(二項演算, 영어: binary operation)은 ${\displaystyle S}$의 두 원소로부터 ${\displaystyle S}$의 한 원소를 얻는 함수 ${\displaystyle S\times S\to S}$이다. 편의상 이항 연산을 덧셈 또는 곱셈이라고 하기도 한다. 이항 연산을 갖춘 집합을 마그마라고 한다. ${\displaystyle S}$ 위의 삼항 연산(三項演算, 영어: ternary operation)은 ${\displaystyle S}$의 세 원소로부터 ${\displaystyle S}$의 한 원소를 얻는 함수 ${\displaystyle S\times S\times S\to S}$이다.

넓은 의미에서, ${\displaystyle n}$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle F\colon S_{0}\times S_{1}\times \cdots \times S_{n-1}\to S}$

또한, 무한 순서수 항수를 허용하여 연산의 개념을 일반화할 수 있다. 이 경우, 원래의 항수가 유한한 연산을 유한항 연산(有限項演算, 영어: finitary operation)이라고 하며, 항수가 무한한 연산을 무한항 연산(無限項演算, 영어: infinitary operation)이라고 한다.

구체적으로, 집합 ${\displaystyle S}$와 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$에 대하여, ${\displaystyle S}$ 위의 ${\displaystyle \alpha }$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle F\colon S^{\times \alpha }\to S}$

넓은 의미에서, ${\displaystyle \alpha }$항 연산은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle F\colon \prod _{\beta <\alpha }S_{\alpha }\to S}$

연산은 관계의 특수한 경우이다.

연산에 대한 닫힘

집합 ${\displaystyle S}$ 및 그 위의 ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle F\colon S^{\times n}\to S}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle S}$의 부분 집합 ${\displaystyle T\subset S}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle T}$가 ${\displaystyle F}$에 대하여 닫혀있다(${\displaystyle F}$에對하여닫혀있다, 영어: closed under ${\displaystyle F}$)고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle {\vec {t}}\in T^{\times n}}$에 대하여, ${\displaystyle f({\vec {t}})\in T}$

또한, ${\displaystyle T\subset S}$의 ${\displaystyle F\colon S^{\times n}\to S}$에 대한 폐포(閉包, 영어: closure) ${\displaystyle \operatorname {cl} _{F}T}$는 ${\displaystyle F}$에 대하여 닫혀있는 최소 집합 ${\displaystyle T\subset \operatorname {cl} _{F}T\subset S}$이다. 즉, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {cl} _{F}T=T\cup F(T^{\times n})\cup F((T\cup F(T^{\times n}))^{\times n})\cup \cdots }$

보다 일반적으로, 집합 ${\displaystyle S}$ 및 그 위의 연산의 부분 집합 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}\subset \bigcup _{n=0}^{\infty }S^{S^{\times n}}}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle T\subset S}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여 닫혀있다(${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에對하여닫혀있다, 영어: closed under ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$)고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$에 대하여, ${\displaystyle T}$는 ${\displaystyle F}$에 대하여 닫혀있다.

또한, ${\displaystyle T\subset S}$의 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}\subset \bigcup _{n=0}^{\infty }S^{S^{\times n}}}$에 대한 폐포(閉包, 영어: closure) ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\mathcal {F}}T}$는 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여 닫혀있는 최소 집합 ${\displaystyle T\subset \operatorname {cl} _{\mathcal {F}}T\subset S}$이다.

${\displaystyle \operatorname {cl} _{\mathcal {F}}T=\bigcup _{k=0}^{\infty }\,\overbrace {\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\operatorname {cl} _{F}\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\operatorname {cl} _{F}\cdots \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\operatorname {cl} _{F}} ^{k}\,T}$

표기

연산의 표기법은 함수 표기법 이외에도 여러 가지가 있다. 자주 사용되는 표기법으로는 연산자를 피연산자의 앞에 배치하여 표기하는 전위 표기법(=폴란드 표기법), 연산자를 피연산자의 뒤에 배치하여 표기하는 후위 표기법(=역폴란드 표기법), 연산자를 두 피연산자의 사이에 표기하는 중위 표기법 따위가 있다.

일항 연산은 전위 표기법 ${\displaystyle -a}$(반수), ${\displaystyle \lnot p}$(부정) 또는 후위 표기법 ${\displaystyle n!}$(계승) 또는 함수 표기법 ${\displaystyle \sin(x)}$(사인) 등을 사용하여 표기할 수 있다. 연산자를 위 첨자 표기하는 방법 ${\displaystyle A^{\operatorname {T} }}$(전치 행렬)도 있다. 제곱근 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$의 경우, 연산자가 피연산자의 왼쪽과 위쪽에 걸쳐 위치한다.

이항 연산은 보통 함수 표기법 ${\displaystyle F(a,b)}$ 대신 중위 표기법 ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle a\cdot b}$를 사용하거나 연산자를 생략하는 방식 ${\displaystyle ab}$를 사용한다. 거듭제곱 ${\displaystyle a^{b}}$의 경우, 연산자를 생략하되 두 번째 변수인 지수를 위 첨자 표기한다. 전위 표기법 ${\displaystyle +\ a\ b}$, ${\displaystyle \cdot \ a\ b}$이나 후위 표기법 ${\displaystyle a\ b\ +}$, ${\displaystyle a\ b\ \cdot }$을 사용하기도 한다.

연산

주어진 연산으로부터, 새로운 연산을 다음과 같이 유도할 수 있다.

제한

${\displaystyle S}$ 위의 ${\displaystyle n}$항 연산

${\displaystyle F\colon S^{\times n}\to S}$

은 그에 대하여 닫혀있는 부분 집합 ${\displaystyle T\subset S}$ 위에 새로운 ${\displaystyle n}$항 연산

${\displaystyle F|_{T}\colon T^{\times n}\to T}$

${\displaystyle F|_{T}\colon {\vec {t}}\mapsto F({\vec {t}})}$

을 유도한다. 이를 ${\displaystyle F}$의 ${\displaystyle T}$에서의 제한(制限, 영어: restriction)이라고 한다.

멱집합 위에 유도되는 연산

${\displaystyle n}$항 연산

${\displaystyle F\colon S^{\times n}\to S}$

는 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ 위에 다음과 같은 연산을 유도한다.

${\displaystyle {\tilde {F}}\colon {\mathcal {P}}(S)^{\times n}\to {\mathcal {P}}(S)}$

${\displaystyle {\tilde {F}}\colon {\vec {T}}\mapsto \{F({\vec {t}})|t_{i}\in T_{i}\}}$

즉, 이는 상을 취하는 연산이다. 이를 ${\displaystyle F}$에 의해 멱집합 위에 유도되는 연산이라고 한다.

점별 연산

${\displaystyle n}$항 연산

${\displaystyle F\colon Y^{\times n}\to Y}$

은 함수 집합 ${\displaystyle Y^{X}}$ 위에 다음과 같은 ${\displaystyle n}$항 연산을 유도한다.

${\displaystyle {\tilde {F}}\colon (Y^{X})^{\times n}\to Y^{X}}$

${\displaystyle {\tilde {F}}\colon {\vec {f}}\mapsto (x\mapsto F({\vec {f}}(x)))}$

이를 ${\displaystyle F}$에 대한 점별 연산(點別演算, 영어: pointwise operation)이라고 한다.

예

사칙 연산

 이 부분의 본문은 사칙 연산입니다.

실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에 정의된 사칙 연산 가운데,

• 덧셈 ${\displaystyle +\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (r,s)\mapsto r+s}$은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 이항 연산이다.
• 뺄셈 ${\displaystyle -\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (r,s)\mapsto r-s}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 이항 연산이다.
• 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (r,s)\mapsto rs}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 이항 연산이다.
• 그러나, 나눗셈 ${\displaystyle /\colon \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (r,s)\mapsto r/s}$은 이항 연산이 아니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문이다. 다만, 나눗셈은 넓은 의미에서 이항 연산이다.

자연수 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$이 사칙 연산에 대하여 닫혀있는지의 여부는 각각 다음과 같다.

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 ${\displaystyle +}$에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle m+n\in \mathbb {N} }$이다.
• ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 ${\displaystyle -}$에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, ${\displaystyle 3,5\in \mathbb {N} }$이지만, ${\displaystyle 3-5=-2\not \in \mathbb {N} }$이다. 사실, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{-}\mathbb {N} =\mathbb {Z} }$이다. (여기서 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 정수 집합이다.)
• ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 ${\displaystyle \cdot }$에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle mn\in \mathbb {N} }$이다.
• ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 ${\displaystyle /}$에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, ${\displaystyle 2,5\in \mathbb {N} }$이지만, ${\displaystyle 2/5\not \in \mathbb {N} }$이다. 사실, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{/}\mathbb {N} =\mathbb {Q} }$이다. (여기서 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 유리수 집합이다.)

논리 연산

 이 부분의 본문은 논리 연산입니다.

논리식의 논리합과 논리곱은 논리식 집합 위의 이항 연산이다. 논리식의 부정은 논리식 집합 위의 일항 연산이다.

군 위의 연산

군 ${\displaystyle G}$ 위에 정의된 연산들 가운데,

• 항등원 ${\displaystyle 1_{G}\in G}$는 ${\displaystyle G}$ 위의 영항 연산이다.
• 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$, ${\displaystyle (g,h)\mapsto gh}$는 ${\displaystyle G}$ 위의 이항 연산이다.

이들에 의해 멱집합에 유도되는 연산들은 각각 다음과 같다.

• 자명군 ${\displaystyle \{1_{G}\}\subset G}$
• 임의의 ${\displaystyle H,K\subset G}$에 대하여, ${\displaystyle HK=\{hk|h\in H,\;k\in K\}\subset G}$
  • 특히, 임의의 ${\displaystyle g\in G\supset H}$에 대하여, ${\displaystyle gH=\{gh|h\in H\}\subset G}$

벡터 공간 위의 연산

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 정의된 연산들 가운데,

• 영벡터 ${\displaystyle 0_{V}\in V}$는 ${\displaystyle V}$ 위의 영항 연산이다.
• 벡터 덧셈 ${\displaystyle +\colon V\times V\to V}$, ${\displaystyle (v,w)\mapsto v+w}$은 ${\displaystyle V}$ 위의 이항 연산이다.
• 그러나, 스칼라 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V}$, ${\displaystyle (a,v)\mapsto av}$은 이항 연산이 아니며, 넓은 의미의 이항 연산이다. 이를 일항 연산 ${\displaystyle a\cdot \colon V\to V}$, ${\displaystyle v\mapsto av}$ (${\displaystyle a\in K}$)의 집합으로 여길 수 있다.

이들은 각각 함수 집합 ${\displaystyle W^{V}}$ 위에 점별 연산을 유도하며, 선형 변환 공간 ${\displaystyle \hom(V,W)\subset W^{V}}$은 이에 대하여 닫혀있다. 따라서 ${\displaystyle \hom(V,W)}$ 위에 다음과 같은 점별 연산들이 유도된다.

• 영선형 변환 ${\displaystyle 0_{V,W}\colon V\to W}$, ${\displaystyle v\mapsto 0_{W}}$
• 임의의 선형 변환 ${\displaystyle T,U\colon V\to W}$ 및 벡터 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}$. 이를 점별 덧셈이라고 한다.
• 임의의 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$ 및 벡터 ${\displaystyle v\in V}$ 및 스칼라 ${\displaystyle a\in K}$에 대하여, ${\displaystyle (aT)(v)=aT(v)}$. 이를 점별 스칼라 곱셈이라고 한다.

관계

 이 부분의 본문은 관계 (수학)입니다.

${\displaystyle n}$항 관계

${\displaystyle R\subseteq S^{\times n}}$

은 다음과 같은 특수한 ${\displaystyle n}$항 연산으로 여길 수 있다.

${\displaystyle F\colon S^{\times n}\to 2}$

${\displaystyle F\colon {\vec {s}}\mapsto {\begin{cases}1&{\vec {s}}\in R\\0&{\vec {s}}\not \in R\end{cases}}}$

같이 보기

• 관계 (수학)
• 하이퍼 연산
• 중위 표기법
• 연산자
• 연산의 우선순위

외부 링크

• “Algebraic operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Binary operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Operand”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Operation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Unary operation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binary operation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Operation”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Binary operation”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Definition:Operation”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition:Subset product”. 《ProofWiki》 (영어).