하이퍼 연산

수학에서 하이퍼 연산 수열(Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산이라 불리는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱으로 시작하는 이항연산 수열이다. 이 수열의 n번째 하이퍼 연산은 n의 그리스어 접두사에 접미사 -ation을 붙인 단어로 불리며, 커누스 윗화살표 표기법에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다.

정의

 이 부분의 본문은 커누스 윗화살표 표기법입니다.

하이퍼 연산 수열은 덧셈 (n = 1), 곱셈 (n = 2), 거듭제곱 (n = 3)으로 시작하는, ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$으로 첨수(添數)된 이항연산 수열이다. 하이퍼 연산 수열의 매개변수는 거듭제곱과 유사한 용어를 쓴다; 따라서 a는 밑, b는 지수 (또는 하이퍼 지수), n은 계수 (또는 등급)이다..

커누스 윗화살표 표기법을 이용하면, 우리는 하이퍼 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1,b=0\\0&{\text{if }}n=2,b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

(otherwise는 위에 주어진 조건들이 성립하지 않을 때를 뜻한다.)

이는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 다음에 무엇인지에 대한 답으로 해석할 수 있다. 참고로

• ${\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))}$
• ${\displaystyle a\times b=a+(a\times (b-1))}$
• ${\displaystyle a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}$

는 하이퍼 연산자들의 관계를 나타내며, 더 높은 연산자들을 정의할 수 있다. 높은 연산자에는 작은 수를 대입해도 매우 큰 숫자가 나온다. 더 자세한 내용을 보려면 테트레이션 문서를 보라.

일반적으로, 하이퍼 연산자들은 이전 하이퍼 연산자의 반복을 거듭하는 것을 뜻한다. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 개념은 모두 하이퍼 연산이다; 덧셈 연산은 1을 거듭 더하는 것이고, 곱셈은 한 숫자를 거듭 더하는 것이며, 거듭제곱은 한 숫자를 거듭 곱하는 것이다.

예시

다음은 처음 여섯 개의 하이퍼 연산자이다.

n	연산	정의	이름	영역
0	${\displaystyle b+1}$	${\displaystyle {1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}$	hyper0, 증분(增分), 다음수	임의의 b
1	${\displaystyle a+b}$	${\displaystyle {a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}$	hyper1, 덧셈	임의의 a,b
2	${\displaystyle ab}$	${\displaystyle {{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b}}}$	hyper2, 곱셈	임의의 a,b
3	${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b}}}$	hyper3, 거듭제곱	a > 0, b 실수, 또는 a가 0이 아닌 실수, b가 정수
4	${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} } \atop {b}}}$	hyper4, 테트레이션	a > 0, 정수 b ≥ −1
5	${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{3}b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} } \atop {b}}}$	hyper5, 펜테이션	a와 b는 정수, a > 0, b ≥ 0
6	${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{4}b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow ^{3}a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a} } \atop {b}}}$	hyper6, 헥세이션	a와 b는 정수, a > 0, b ≥ 0

하이퍼 연산의 역사

하이퍼 연산이 맨 처음으로 토론된 경우는 1914년 알베르트 베네트가 "가환 하이퍼 연산"에 대한 이론을 개발했을 때이다. 약 12년 후, 빌헬름 아커만이 하이퍼 연산 수열과 어느 정도 연관성이 있는 함수 ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$^[1] 를 정의했다. 원래 아커만 함수는 같은 반복 규칙을 사용했지만, 현대 하이퍼 연산과 최소 2가지의 다른 점이 있다. 그리고 1947년, Reuben Goodstein^[2]은 하이퍼 연산을 현재 쓰이는 방법으로 정의하였다. 그는 ${\displaystyle G(n,a,b)}$와 같은 기호를 사용했는데, 이는 커누스 윗화살표 표기법에서는 ${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}$와 같다. 또한, Goodstein은 "테트레이션", "펜테이션", "헥세이션" 등 거듭제곱 이상의 연산에 명칭을 부여했다.

표기법

다음 목록은 하이퍼 연산을 표기하는 여러 가지 방법이다.

이름	표기법	비고
기본 화살표 표기법	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b=H_{n}(a,b)}$	커누스가 최초로 사용[3]
굿스틴의 표기법	${\displaystyle G(n,a,b)}$	굿스틴(Goodstein)이 최초로 사용[2]
초기 아커만 함수	${\displaystyle A(a,b,n-1)=H_{n}(a,b)}$	하이퍼 연산과는 약간 다르다.
현대 아커만 함수	${\displaystyle A(n,b-3)+3=H_{n}(2,b)}$	밑이 2일 때의 하이퍼 연산과 동일하다.
냄비어의 표기법	${\displaystyle a\otimes ^{n}b}$	냄비어(Nambiar)가 최초로 사용[4]
상자 표기법	${\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}$	Rubtsov과 Romerio가 최초로 사용[5]
어깨글자 표기법	${\displaystyle a{}^{(n)}b}$	로버트 무나포(Robert Munafo)가 최초로 사용[6]
아래글자 표기법	${\displaystyle a{}_{(n)}b}$	작은 하이퍼 연산을 위해 무나포가 최초로 사용[6]
ASCII 표기법	a [n] b	많은 온라인 포럼에서 사용; 상자 표기법을 기본으로 함.

같이 보기

• 아커만 함수
• 커누스 윗화살표 표기법
• 콘웨이 화살표 사슬 표기법
• 테트레이션
• 큰 수

각주

1. Wilhelm Ackermann (1928). “Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen”. 《Mathematische Annalen》 99: 118-133. doi:10.1007/BF01459088.
2. R. L. Goodstein (1947년 12월). “Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory”. 《Journal of Symbolic Logic》 12 (4): 123-129. 2009년 4월 17일에 확인함.
3. Donald E. Knuth (1976년 12월). “Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness”. 《Science》 194 (4271): 1235-1242. 2009년 4월 21일에 확인함.
4. K. K. Nambiar (1995). “Ackermann Functions and Transfinite Ordinals”. 《Applied Mathematics Letters》 8 (6): 51-53. 2009년 4월 21일에 확인함.
5. C. A. Rubtsov and G. F. Romerio (2005년 12월). “Ackermann's Function and New Arithmetical Operation”. 2009년 4월 17일에 확인함.
6. Robert Munafo (1999년 11월). “Inventing New Operators and Functions”. 《Large Numbers at MROB》. 2009년 4월 17일에 확인함.