수학에서 연립 일차 방정식(聯立一次方程式, 영어:system of linear equations) 또는 선형 방정식계(線形方程式系)는 여러 개의 일차 방정식으로 이루어진 연립 방정식이다.[1] 모든 일차 방정식을 만족시키는 변수값 튜플을 해로 한다. 기하학적 관점에서, 실수 계수 연립 일차 방정식의 해는 초평면들의 교점과 같다. 연립 일차 방정식은 계수 행렬과 첨가 행렬을 사용하여 나타낼 수 있다. 연립 일차 방정식의 기본적인 해법은 가우스 소거법이다. 연립 일차 방정식은 선형대수학의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.[1]
개의 방정식으로 이루어진 원 연립 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.
행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 동치이다.
여기에 쓰인 세 행렬을 왼쪽부터 차례대로 , , 라고 하면, 연립 일차 방정식은 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.
이 경우, 를 이 연립 일차 방정식의 계수 행렬, 를 해 벡터(解-, 영어:solution vector), 를 소스 벡터(영어:source vector)라고 한다.[2] 또한, 계수 행렬 옆에 소스 벡터를 덧붙인 행렬 를 첨가 행렬이라고 한다.
연립 일차 방정식 가 을 만족시키면, 동차 연립 일차 방정식(同次聯立一次方程式, 영어:homogeneous system of linear equations)이라고 하며, 반대로 을 만족시키면, 비동차 연립 일차 방정식(非同次聯立一次方程式, 영어:non-homogeneous system of linear equations)이라고 한다.
계수를 체에서 취하는 연립 일차 방정식 의 해의 집합은 공집합이거나, -벡터 공간의 잉여류 를 이룬다. (여기서 은 임의의 고정된 해이며, 는 핵이다.) 특히, 동차 연립 일차 방정식의 해들은 -벡터 공간 을 이룬다.
구체적으로, 연립 일차 방정식 의 해는 존재하지 않을 수도, 유일할 수도, 수많을 수도 있는데, 다음 세 조건이 서로 동치이다.