선형대수학에서 가우스 소거법(Gauß消去法, 영어: Gaussian elimination)이란, 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다.
체 에 대하여, 개의 미지수에 대한 개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식
이 주어졌다고 하자. 여기서
은 주어진 행렬이고,
은 개의 미지수를 포함하는 열벡터이다. 즉, 이는 풀어서 쓰면 다음과 같다.
-
기본 행 연산
이 경우, 이 연립방정식에 다음과 같은 세 가지 연산을 가할 수 있다. 이들을 기본 행 연산(基本行演算, 영어: elementary row operation)이라고 한다.
- (행의 치환) 의 번째 행과 번째 행을 서로 바꾼다.
- (행의 상수곱) 번째 행을 0이 아닌 임의의 상수 으로 곱한다.
- (행의 합) 임의의 상수 에 대하여, 번째 행의 배를 번째 행에 더한다.
행사다리꼴행렬
일반적으로 사다리꼴행렬(Echelon matrix,에쉴론 메트릭스, 또는 행사다리꼴행렬)은,
행렬 에 대하여, 이라고 하면, 를 번째 행의 선행 계수(先行係數, 영어: leading coefficient)라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다.
행렬 이 다음 조건을 만족시키면, 을 행사다리꼴행렬(사다리꼴行列, 영어: échelon matrix)이라고 한다.
- 만약 이라면, 모든 에 대하여 이다.
- 만약 이며 와 가 존재한다면, 이다.
행렬 이 다음 조건을 만족시키면, 을 기약행사다리꼴행렬(旣約行사다리꼴行列, 영어: reduced-row échelon matrix)이라고 한다.
- 은 행사다리꼴행렬이다.
- 가 존재한다면, 이며, 모든 에 대하여 이다.
즉, 행사다리꼴행렬은 행렬의 항들이 대략 위에는 사다리꼴, 밑에는 0인 형태의 행렬이다. 기약행사다리꼴행렬 조건은 행사다리꼴행렬 조건보다 더 강한 조건이다.
예를 들어, 다음과 같은 행렬은 행사다리꼴행렬이다.
다음과 같은 행렬은 기약행사다리꼴행렬이다.
가우스 소거법
가우스 소거법은 행렬 을 기본행연산을 가하여 행사다리꼴행렬로 만드는 알고리즘이며, 다음과 같다. 먼저 첫번째 행을 다음과 같이 처리한다.
- 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 을 찾는다.
- 이라면, 첫번째 행을 인 어떤 번째 행과 치환한다.
- 모든 번째 행에 첫번째 행의 배를 더해, 밑의 항들을 0으로 만든다.
그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다.
- 어떤 번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 을 찾는다.
- 이라면, 두번째 행을 인 어떤 번째 행과 치환한다.
- 모든 번째 행에 두번째 행의 배를 더해, 밑의 항들을 0으로 만든다.
뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로, 번째 행은 다음과 같이 처리한다.
- 어떤 번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 을 찾는다.
- 이라면, 번째 행을 인 어떤 번째 행과 치환한다.
- 모든 번째 행에 번째 행의 배를 더해, 밑의 항들을 0으로 만든다.
만약 어떤 가 존재하지 않는다면, 번째 행에서 멈춘다. 만약 항상 를 찾을 수 있다면, 모든 번째 행에 대하여 순차적으로 위와 같이 처리하며, 으로 둔다.
기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든 에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다.
- 번째 행에 를 곱해, 를 1로 만든다.
- 모든 번째 행에 번째 행의 배를 더해, 위의 항들을 0으로 만든다.
여기서 이며 인 데 주의하자. 사실, 이는 행렬의 계수이다.
- 기약행사다리꼴행렬의 과정을 특히 조단이 제시한 "가우스 조단 소거법"으로 부른다.
기본행연산
세 가지 기본행연산은 모두 가역 연산이다.
- 행의 치환의 역연산은, 자기 자신이다.
- 행의 상수곱의 역연산은, 그 행에 그 상수 대신 역수를 곱하는 것이다.
- 어떤 행에 다른 행의 배수를 더하는 것의 역연산은, 더하는 대신 빼는 것이다.
두 연립일차방정식의 첨가 행렬이 하나에 기본행연산을 가하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 행동치라고 한다. 첨가 행렬이 행동치라면, 연립방정식의 풀이는 서로 같다.
기본 행렬은 단위 행렬에 기본행연산을 한 번 가하여 얻는 행렬이다. 이에 따라, 세 가지 기본행연산은 기본 행렬 곱셈과 같다.
행사다리꼴행렬
가우스 소거법 알고리즘에서 알 수 있듯, 모든 연립일차방정식의 첨가 행렬은 그와 같은 해를 갖는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 따라서, 연립일차방정식의 풀이는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴에 대한 풀이로 귀결된다.
행사다리꼴행렬 에 대한 연립일차방정식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 존재한다.
- 상수항이 0이 아닌 행이 존재하지 않는다. (상수항은 번째 열의 항, 0행은 선행 계수가 없는 행을 뜻한다.)
해가 존재하는 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 유일하다.
- . 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수와 같다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재하지 않는다.
달리 말해, 해가 존재하는 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 유일하지 않다. (체의 표수가 0이라면, 이는 해가 무한히 많은 것과 동치이다.)
- . 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수보다 적다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재한다.
행렬식의 계산
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있다. 이는 정사각행렬에 대하여 다음 사실들이 성립하기 때문이다.
- 기본행연산을 가하면, 행렬식은 "상수배" 변화하며, 주어진 기본행연산이 행렬식을 변화시키는 배수는 자명하다. 즉,
- 행을 치환하면, 행렬식은 -1배가 된다.
- 행에 상수곱을 하면, 행렬식은 그 상수의 역수배가 된다.
- 어떤 행에 다른 어떤 행의 상수배를 더하면, 행렬식은 변하지 않는다.
- 가우스 소거법을 통해 행렬을 행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 특히 정사각행렬이므로, 이는 0행(즉 모든 항이 0인 행)을 갖거나, 상삼각행렬이다.
- 0행을 갖는 정사각행렬의 행렬식은 0이다.
- 상삼각행렬의 행렬식은 모든 대각항의 곱이다.
역행렬의 계산
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 역행렬을 계산할 수 있다. 행렬 의 역행렬은 다음과 같이 계산한다. 에 단위행렬을 추가하여 행렬로 만든다.
이 행렬에 기본행연산을 가하여
로 만든다면, 행렬 은 과 같다.
해가 유일한 연립 선형 방정식
다음과 같은 선형 방정식이 주어졌다고 하자.
첫 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.
- 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다
- 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.
그렇다면 다음과 같다.
두 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.