수론과 대수기하학에서 베유 추측(영어: Weil conjectures)은 유한체 위에 정의된 대수다양체의 점의 수에 대한 네 개의 정리들이다.
유한체
위의 스킴
가 매끄러운 사영 대수다양체이라고 하자.
의 국소 제타 함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\#(X/\mathbb {F} _{q^{m}})q^{-sm}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bbb83582b43628a384364b6ec20af8919a978b)
여기서
은
의 닫힌 점의 수이다.
베유 추측에 따르면, 다음 네 명제들이 성립한다.[1]:450–451
- (유리성)
는
에 대한 유리 함수이며, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af285628bef4fbd0b71728bac3eeebaa53994f3b)
![{\displaystyle P_{i}(T)\in \mathbb {Z} [T]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,2n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ced90cd920f49f00572d9127923b6bf163c468f)
![{\displaystyle P_{0}(T)=1-T}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892fe1af8dc977b58c25ffe79100e6aa290dcc95)
![{\displaystyle P_{2n}(T)=1-q^{n}T}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e7f29ae2c1b8acdbd4328be6ddb0281626f7f1)
![{\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{j=1}^{\deg P_{i}}(1-\alpha _{ij}T),\quad (\alpha _{ij}\in \mathbb {C} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ef5b17ffc5790dde38694de4509dedacec5407)
- (함수 방정식) 어떤 정수
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \zeta (X,n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,s)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6378ffe996a781004ca35e155efe2ab8d638011e)
- (리만 가설) 모든
및 모든
에 대하여, ![{\displaystyle |\alpha _{i,j}|=q_{i}/2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391ccb95ad4455fe404bd1d08921493e661daced)
- (베티 수) 어떤 대수적 수체
의 대수적 정수환
의 소 아이디얼
가
를 만족시키며, 어떤 스킴 사상
에 대하여,
가
와
-스킴으로서 동형이라고 하자. 이 경우,
이다. 여기서
는 복소수체 위의 대수다양체
의 특이 코호몰로지에 대한 베티 수이다. 또한,
는 복소수체 위의 대수다양체의 특이 코호몰로지에 대한 오일러 지표이다.
앙드레 베유가 1949년에 추측하였다. 유리성 추측은 1960년에 버나드 모리스 드워크(영어: Bernard Morris Dwork)가 증명하였고, 함수 방정식은 알렉산더 그로텐디크가 1965년에 증명하였고, 리만 가설은 피에르 들리뉴가 1974년에 증명하였다. 이 공로로 들리뉴는 필즈상을 수상하였다.