대수학과 해석학에서 유리 함수(有理函數, 영어: rational function)란 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
이 문서는 대수학에서의 유리 함수에 관한 것입니다.
대수다양체나
스킴 위의 유리 함수에 대해서는
유리 함수층 문서를 참고하십시오.
체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
변수의 유리 함수체
는 다항식환의 분수체이다.
![{\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {Frac} (K[x_{1},\dots ,x_{n}])}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fcf96ce60fdf35fdfc696767251e39ef3e6c01e)
유리 함수체의 원소를 유리 함수라고 한다.
즉, 유리 함수체에 속하는 함수는 다항식들의 비, 즉
![{\displaystyle {\frac {p(x_{1},\dots ,x_{n})}{q(x_{1},\dots ,x_{n})}}\qquad (p,q\in K[x_{1},\dots ,x_{n}],\;q\neq 0)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18af7a28a2467cf053ae41e2d14090a596f0dc19)
의 꼴이며, 약분을 해서 같아지는 다항식들의 비는 같은 유리 함수로 간주한다.
체의 계수를 갖는 유리 함수들은 체를 이룬다. 즉, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
유리 함수체의 경우 체의 동형
![{\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})\cong K(x_{1})(x_{2})\cdots (x_{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a02e64ef64e7fdb941e23be3c96f8bd28bb929)
이 존재한다.
유리 함수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포를 대수 함수의 체
라고 한다.
테일러 급수
유리 함수를 테일러 급수로 표현했을 때, 그 계수를 동류항 정리를 통해 일차 점화식으로 나타낼 수 있다.
예를 들어, 다음 유리 함수의 테일러 급수를 생각하자.
![{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2e1cf4e8a319f0427a06e299cd150c43caadd3)
양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다.
![{\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ca5cd8802fec2ab0fdff09da7ece43c1b6b8c9)
![{\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c97f845640b6640c38c5a3f3784471787252934)
그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.
![{\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92222ca4856f337fdab13c88684d50fe113fdb01)
결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a16701c18f3fb9f5f9da6d560751564304a4d8f)
![{\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd3ccfbe3e22ad66a75422f3d1cfce09e9ff4a2)
![{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\qquad (k\geq 2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5932cf515e104101df6a2d90a18ee3810207e0)
3차 유리 함수
의 그래프
유리 함수
![{\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd555aa90ccf98d243a3a8c2384acfd0445d40b)
는
에서 값이 정의되지 않는다.
유리 함수
![{\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}+5)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4fea268b92081adade6b1e6f4532474181537a)
는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다.
유리 함수
![{\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd555aa90ccf98d243a3a8c2384acfd0445d40b)
는
가 무한히 커지면
에 접근한다.