타원함수

복소해석학에서 타원함수(楕圓函數, 영어: elliptic function)는 복소 타원 곡선 위에 정의된 유리형 함수이다. 즉, 복소평면 위에 정의된, 두 개 방향으로 주기함수인 유리형 함수다.^[1]

정의

${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$가 0이 아닌 복소수이고, 또한 그 비가 실수가 아니라고 하자.

• ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\neq 0}$
• ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}\not \in \mathbb {R} }$

그렇다면

${\displaystyle \Lambda =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\colon m,n\in \mathbb {Z} \}}$

는 격자를 이루며,

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda \equiv \mathbb {C} /(z\sim z+\Lambda )}$

는 타원 곡선을 이룬다.

타원함수는 유리형 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} /\Lambda \to {\hat {\mathbb {C} }}}$이다. 여기서 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$는 리만 구이다. 이 경우, ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$를 ${\displaystyle f}$의 주기(영어: period)라고 한다.

분류

모든 타원함수는 바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (z)}$로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 복소 타원 곡선 ${\displaystyle L}$ 위의 타원함수들의 체 ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}}$을 생각하자. 그렇다면 다음과 같은 동형이 존재한다.^[1]:18

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}\cong \mathbb {C} (\wp ,\wp ')/(\wp '^{2}-4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3})}$

여기서 ${\displaystyle \wp '(z)=d\wp (z)/dz}$이다. 다시 말해, 모든 타원 곡선은 바이어슈트라스 타원함수와 그 도함수에 대한 유리 함수로 나타낼 수 있다.

복소 타원곡선 ${\displaystyle L}$ 위의, 짝함수인 타원 함수들의 체 ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}^{+}}$는 다음과 같다.^[1]:18

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}^{+}\cong \mathbb {C} (\wp )}$

예

대표적인 예로, 바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$와 야코비 타원함수 ${\displaystyle \operatorname {sn} (z)}$, ${\displaystyle \operatorname {cn} (z)}$, ${\displaystyle \operatorname {dn} (z)}$가 있다.

같이 보기

• 타원 적분
• 타원곡선
• 모듈러 군
• 세타 함수

각주

1. Koblitz, Neal (1993). 《Introduction to elliptic curves and modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 97 2판. doi:10.1007/978-1-4612-0909-6. ISBN 978-1-4612-6942-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0804.11039. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• Husemöller, Dale (2004). 《Elliptic Curves》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 111 2판. New York: Springer. doi:10.1007/b97292. ISBN 978-0-387-95490-5. Zbl 1040.11043. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Rice, Adrian (2008년 6월). “In search of the “birthday” of elliptic functions”. 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 30 (2): 48–56. doi:10.1007/BF02985736. ISSN 0343-6993. Zbl 1176.01004.

외부 링크

• “Elliptic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• 이철희. “타원함수”. 《수학노트》.