야코비 타원함수

수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

sn(u)의 그래프. 붉은 선은 ${\displaystyle m=0.05^{2}}$, 녹색 선은 ${\displaystyle m=1.05^{2}}$이다.

cn(u)의 그래프. 붉은 선은 ${\displaystyle m=0.05^{2}}$, 녹색 선은 ${\displaystyle m=1.05^{2}}$이다.

dn(u)의 그래프. 붉은 선은 ${\displaystyle m=0.25^{2}}$, 녹색 선은 ${\displaystyle m=1.05^{2}}$이다.

정의

야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 ${\displaystyle (u,m)}$에 대한 함수이다. 여기서 ${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.

${\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {sn} (u;m)=\sin \phi }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u;m)=\cos \phi }$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u;m)={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}}$

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신 ${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$ 또는 ${\displaystyle \alpha =\arcsin {\sqrt {m}}}$을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$, ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq \pi /2}$이다.

타원과의 관계

긴 반지름이 ${\displaystyle a\geq 1}$이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}=1}$

이들을 극좌표계 ${\displaystyle (r,\theta )=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan(x/y))}$로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

${\displaystyle x=x(\theta )}$

${\displaystyle y=y(\theta )}$

${\displaystyle r=r(\theta )={\sqrt {x(\theta )^{2}+y(\theta )^{2}}}}$

또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

${\displaystyle u=\int _{0}^{\theta }\,r(\phi )\,d\phi }$

그렇다면, ${\displaystyle u}$의 함수로서 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle r}$은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {cn} (u)=x(\theta )/a}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u)=y(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u)=r(\theta )/a}$

이 경우, ${\displaystyle m}$은 타원의 이심률의 제곱이다.

${\displaystyle m=k^{2}=1-1/a^{2}}$

보조 야코비 타원함수

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

	sn(u)	cn(u)	dn(u)
1	ns(u)=1/sn(u)	nc(u)=1/cn(u)	nd(u)=1/dn(u)
sn(u)	1	sc(u)=sn(u)/cn(u)	sd(u)=sn(u)/dn(u)
cn(u)	cs(u)=cn(u)/sn(u)	1	cd(u)=cn(u)/dn(u)
dn(u)	ds(u)=dn(u)/sn(u)	dc(u)=dn(u)/cn(u)	1

성질

주기성

야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. ${\displaystyle f}$가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

${\displaystyle f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)}$

여기서 ${\displaystyle K(m)}$과 ${\displaystyle K'(m)}$은 각각 실사분주기(영어: real quarter period)와 허사분주기(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

${\displaystyle K'(m)=K(1-m)}$

즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 ${\displaystyle \mathbb {C} /\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\{4K(m),4iK'(m)\}}$ 위에 정의된 유리형 함수이다.

극점과 영점

sn, cn, dn 모두

${\displaystyle u=iK'(m)}$

에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {sn} (0;m)=0}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (K(m);m)=0}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (K(m)+iK'(m);m)=0}$

삼각함수·쌍곡함수와의 관계

${\displaystyle m=0}$일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

${\displaystyle \operatorname {sn} (u;0)=\sin u}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u;0)=\cos u}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u;0)=1}$

반대로, ${\displaystyle m=1}$일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

${\displaystyle \operatorname {sn} (u;1)=\tanh u}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u;1)=\operatorname {dn} (u;1)={\frac {1}{\cosh u}}}$

항등식

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

${\displaystyle \operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {cn} ^{2}(u;m)=1}$

${\displaystyle m\operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {dn} ^{2}(u;m)=1}$

합 공식

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$

미분

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {sn} z=\operatorname {cn} z\operatorname {dn} z}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {cn} z=-\operatorname {sn} z\operatorname {dn} z}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {dn} z=-m\operatorname {sn} z\operatorname {cn} z}$

역사

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.^[1]

같이 보기

• 세타 함수
• 바이어슈트라스 타원함수
• 타원 적분
• 타원곡선