핵 (수학)

수학에서, 어떤 사상의 핵(核, kernel 커널^[*])은 0의 원상의 포함 사상으로 생각할 수 있는 특별한 단사 사상이다. 범주론을 통해 추상적으로 정의할 수 있으나, 적절한 조건을 만족시키는 구체적 범주에서는 특정 원소의 원상의 포함 함수가 된다.

정의

영 사상을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 핵 ${\displaystyle \ker f\colon K\to X}$은 다음과 같은 영 사상과의 동등자이다.

${\displaystyle \ker f=\operatorname {eq} \{f,0_{XY}\}}$

영 대상을 갖는 범주 속의 사상 ${\displaystyle f}$에 대하여, ${\displaystyle f=\ker g}$인 ${\displaystyle g}$가 존재한다면 ${\displaystyle f}$를 정규 단사 사상(正規單射寫像, 영어: normal monomorphism)이라고 한다. "정규"라는 용어는 군론의 정규 부분군에서 유래하였다. 임의의 영 대상을 갖는 범주에서, 정규 단사 사상은 (동등자이므로) 단사 사상이다.

모든 단사 사상이 정규 단사 사상인 영 사상을 갖는 범주를 정규 범주(正規範疇, 영어: normal category)라고 한다.

성질

준가법 범주 (아벨 군의 모노이드 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$ 위의 풍성한 범주)에서, 두 사상의 동등자는 그 차의 핵과 같다.

${\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}=\ker(f-g)}$

아벨 범주에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그 여핵의 핵과 같으며, 모든 전사 사상은 그 핵의 여핵과 같다.

예

벡터 공간과 가군

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군의 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$는 영 사상을 갖는 범주이며, 이 범주에서 모든 사상(가군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, ${\displaystyle f\colon M\to N}$의 핵 ${\displaystyle \ker f\colon K\hookrightarrow M}$는 다음과 같은 포함 함수이다.

${\displaystyle K=\{m\in M\colon f(m)=0_{N}\}}$

${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 이는 (군이나 유사환의 경우와 달리) 임의의 부분 가군에 대한 몫가군을 정의할 수 있기 때문이다.

특히, 선형대수학에서 ${\displaystyle R}$가 체일 경우, 체 위의 가군들은 벡터 공간이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 특히, 행렬은 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은 영공간(零空間, 영어: null space)이라고 불리기도 한다.

군

군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서, 영 사상은 1(군 연산의 항등원)로 가는 상수 함수이다. ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서 모든 사상(군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, ${\displaystyle f\colon G\to H}$의 핵 ${\displaystyle \ker f\colon K\hookrightarrow G}$는 다음과 같은 포함 함수이다.

${\displaystyle K=\{g\in G\colon f(g)=0_{H}\}}$

이 경우, ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군을 이룬다.

군의 범주에서, 임의의 군 준동형 ${\displaystyle f\colon G\to H}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 정규 단사 사상이다.
• ${\displaystyle f}$는 단사 함수이며, 그 상 ${\displaystyle f(G)\leq H}$는 ${\displaystyle H}$의 정규 부분군이다.

아벨 군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$에서, 영 사상과 핵은 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서와 같다. 즉, 영 사상은 0(군 연산의 항등원)으로 가는 상수 함수이며, 핵은 0의 원상으로 가는 포함 함수이다. ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$에서 단사 함수인 모든 군 준동형은 정규 단사 사상이다. 이는 아벨 군의 모든 부분군이 정규 부분군이기 때문이다.

유사환

유사환과 유사환 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는 상수 함수이다. ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$에서 모든 사상은 핵을 갖는다. 구체적으로, ${\displaystyle f\colon R\to S}$의 핵 ${\displaystyle \ker f\colon {\mathfrak {k}}\to R}$는 다음과 같은 포함 함수이다.

${\displaystyle {\mathfrak {k}}=\{g\in G\colon f(g)=0_{H}\}}$

이 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$는 ${\displaystyle R}$의 아이디얼을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형 ${\displaystyle f\colon R\to S}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 정규 단사 사상이다.
• ${\displaystyle f}$는 단사 함수이며, 그 상 ${\displaystyle f(R)\subseteq S}$는 ${\displaystyle S}$의 아이디얼이다.

(곱셈 단위원을 갖는) 환과 환 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어 부분환을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

점을 가진 공간

점을 가진 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} _{\bullet }}$에서, 영 사상은 ${\displaystyle \bullet }$으로 가는 상수 함수이다. 이 범주에서 모든 사상 ${\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})}$은 핵 ${\displaystyle \ker f\colon (K,\bullet _{X})\hookrightarrow (X,\bullet _{X})}$을 가지며, 이는 ${\displaystyle \bullet }$의 원상에 대한 포함 함수이다.

${\displaystyle K=\{x\in X\colon f(x)=\bullet _{Y}\}}$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Null space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Linear transformation kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Module kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Kernel”. 《nLab》 (영어).
• “Zero morphism”. 《nLab》 (영어).
• “Normal monomorphism”. 《nLab》 (영어).
• Armstrong, John (2007년 6월 13일). “Zero objects, Kernels, and Cokernels”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).

같이 보기

• 여핵
• 영 대상
• 아벨 범주