가군

환론에서 가군(加群, 영어: module 모듈^[*])은 어떤 환의 작용이 주어진 아벨 군이다. 즉, 아벨 군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 분배 법칙을 통해 서로 호환되는 대수 구조이다. 가군의 개념은 체 위의 벡터 공간과 아벨 군의 개념의 공통적인 일반화이다. 가군 이론은 군의 표현론과 밀접한 연관이 있으며, 가환대수학과 호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학과 대수적 위상수학에서 중요하게 사용된다.

정의

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군(영어: left module) ${\displaystyle (M,+,r\cdot _{r\in R})}$은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

• ${\displaystyle (M,+)}$는 아벨 군을 이룬다.
• 함수 ${\displaystyle \cdot \colon R\times M\to M}$는 다음 조건을 만족시킨다.
  • (분배 법칙) ${\displaystyle (r+s)(m+n)=rm+rn+sm+sn\qquad \forall m,n\in M,\;r,s\in R}$
  • (결합 법칙) ${\displaystyle (rs)m=r(sm)\qquad \forall m\in M,\;r,s\in R}$
  • (항등원) ${\displaystyle 1_{R}m=m\qquad \forall m\in M}$. 여기서 ${\displaystyle 1_{R}\in R}$은 ${\displaystyle R}$의 곱셈 항등원이다.

${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군은 그 반대환 ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ 위의 왼쪽 가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle (M,+)}$는 아벨 군을 이룬다.
• 함수 ${\displaystyle \cdot \colon M\times R\to M}$는 다음 조건을 만족시킨다.
  • (분배 법칙) ${\displaystyle (m+n)(r+s)=mr+nr+ms+ns\qquad \forall m,n\in M,\;r,s\in R}$
  • (결합 법칙) ${\displaystyle m(rs)=(mr)s\qquad \forall m\in M,\;r,s\in R}$
  • (항등원) ${\displaystyle m1_{R}=m\qquad \forall m\in M}$. 여기서 ${\displaystyle 1_{R}\in R}$은 ${\displaystyle R}$의 곱셈 항등원이다.

유사환 ${\displaystyle R}$ 위의 (유사)가군은 환 위의 가군과 유사하게 정의되나, 항등원에 대한 조건이 생략된다.

왼쪽 가군인 동시에 오른쪽 가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 쌍가군이라 한다. ${\displaystyle R}$이 가환환일 때는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 ${\displaystyle R}$-가군이라고 한다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군은 아벨 군 ${\displaystyle (M,+)}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$의 쌍과 동치이다. 환 ${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군은 그 반대환 ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ 위의 왼쪽 가군과 동치이다.

준동형

환 ${\displaystyle R}$ 위의 두 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ 사이의 준동형 ${\displaystyle f\colon M\to N}$은 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.

• ${\displaystyle f}$는 덧셈 아벨 군의 군 준동형이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle m,m'\in M}$에 대하여 ${\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle rf(m)=f(rm)}$이다.

오른쪽 가군의 준동형도 마찬가지로 정의할 수 있다.

가군의 크기

가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다.

길이

 이 부분의 본문은 가군의 길이입니다.

가군의 길이는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다.

크룰 차원

 이 부분의 본문은 크룰 차원입니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군의 크룰 차원은 가군을 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 벡터 다발의 일종으로 여겨 대수기하학적으로 정의하는 차원의 개념이다.

계수

정역 ${\displaystyle R}$ 위에 정의된 가군 ${\displaystyle M}$의 계수(영어: rank)는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.^[1]:84

• ${\displaystyle \operatorname {rank} M=\dim _{\operatorname {Frac} R}\left(M\otimes _{R}\operatorname {Frac} R\right)}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$는 ${\displaystyle R}$의 분수체이며, ${\displaystyle \dim _{\operatorname {Frac} R}}$는 ${\displaystyle R}$의 분수체 위의 벡터 공간의 차원이다.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} M}$은 ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle R}$-선형 독립 집합의 최대 크기이다. 여기서 ${\displaystyle R}$-선형 독립 집합이란 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon B\in R}$에 대하여 만약 ${\displaystyle \{b\in B\colon f(r)\neq 0\}}$가 유한 집합이며 ${\displaystyle \textstyle \sum _{b\in B}f(r)b=0}$이라면 ${\displaystyle \{b\in B\colon f(r)\neq 0\}=\varnothing }$인 부분 집합 ${\displaystyle B\subseteq M}$을 말한다.

아벨 군의 계수는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. 마찬가지로, 체 위의 벡터 공간의 차원은 체 위의 가군으로서의 계수와 같다.

호몰로지 차원

 이 부분의 본문은 호몰로지 차원입니다.

호몰로지 대수학을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 사영/단사 차원(영어: projective/injective dimension)은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 하한이다.

성질

정역 ${\displaystyle R}$ 위의 가군의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to N\to M\to M/N\to 0}$

이 주어졌을 때, 계수에 대한 다음과 같은 식이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {rank} _{R}M=\operatorname {rank} _{R}N+\operatorname {rank} _{R}(M/N)}$

이는 정역의 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$가 ${\displaystyle R}$의 평탄 가군이므로 ${\displaystyle \otimes \operatorname {Frac} R}$가 짧은 완전열을 보존하기 때문에, ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$ 위의 벡터 공간의 완전열

${\displaystyle 0\to N\otimes \operatorname {Frac} R\to M\otimes \operatorname {Frac} R\to (M/N)\otimes \operatorname {Frac} R\to 0}$

이 존재하기 때문이다.

범주론적 성질

환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 왼쪽 가군의 범주를 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$, 오른쪽 가군의 범주를 ${\displaystyle {\text{Mod-}}R}$라고 한다. 이 경우, 범주의 동치

${\displaystyle R^{\operatorname {op} }{\text{-Mod}}\simeq {\text{Mod-}}R}$

가 존재한다. 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$로 쓴다.

${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$와 ${\displaystyle {\text{Mod-}}R}$ 둘 다 아벨 범주를 이룬다. 가군의 범주에 존재하는 주요 연산은 다음과 같다.

영 대상	자명 가군 ${\displaystyle \{0\}}$
곱	직접곱 ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$ (유한곱은 직합과 같음)
쌍대곱	직합 ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ (유한 직합은 직접곱과 같음)
텐서곱	가군의 텐서곱 ${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}M_{i}}$

대수기하학적 성질

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군은 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학에서, 가환환 ${\displaystyle R}$는 어떤 "공간" 위의 함수환으로 여겨지며, 이러한 공간은 구체적으로 환의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$이라는 스킴이다. 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$의 점들은 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$들이다.

${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 가군층을 이룬다.^[2]:110 이 가군층의 점 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 위의 올은 가군의 국소화 ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$이다.

만약 ${\displaystyle M}$이 유한 생성 사영 가군이라면, 이러한 가군은 세르-스완 정리에 따라서 유한 차원 대수적 벡터 다발로 생각할 수 있다. 만약 ${\displaystyle M}$이 자유 가군 ${\displaystyle R^{\oplus \kappa }}$라면, 이러한 가군은 자명한 대수적 벡터 다발을 이룬다.

종류

가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재한다.

자유 가군 ⊆ 사영 가군 ⊆ 평탄 가군 ⊆ 꼬임 없는 가군

만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다.

• 국소환 또는 주 아이디얼 정역 위에서는 자유 가군 = 사영 가군
• 완전환(영어: perfect ring, 예를 들어 아르틴 환 등) 위에서는 사영 가군 = 평탄 가군
• 데데킨트 정역 위에서는 평탄 가군 = 꼬임 없는 가군

단사 가군은 사영 가군의 반대 개념이다. 단사 가군은 위 개념들과 함의 관계를 갖지 않는다.

단순 가군은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 단순군이나 단순환과 유사한 개념이다.

유한 생성 가군은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉, ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유한 집합 ${\displaystyle B\subseteq M}$이 존재한다면, ${\displaystyle M}$을 유한 생성 가군이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle m=\sum _{b\in B}f(b)b}$인 함수 ${\displaystyle f\colon B\to R}$가 존재한다.

예

특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다.

환	가군
체	체 위의 벡터 공간
정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	아벨 군
정수환의 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	모든 원소의 위수가 ${\displaystyle n}$의 약수인 아벨 군
자명환 ${\displaystyle 0}$	자명 가군 ${\displaystyle 0}$

• 임의의 환 ${\displaystyle R}$은 스스로의 가군이다.
• 자명군 ${\displaystyle \{0\}}$은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 자명 가군(영어: trivial module)이라고 한다.
• 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 군환 ${\displaystyle R[G]}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 자유 가군을 이룬다.

같이 보기

• 벡터 공간
• 결합 대수

각주

1. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

• Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
• Anderson, F.W.; K.R. Fuller (1992). 《Rings and categories of modules》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 13 2판. Springer. ISBN 0-387-97845-3. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Wisbauer, Robert (1991). 《Foundations of module and ring theory: a handbook for study and research》 (PDF). Algebra, Logic and Applications (영어) 3. Gordon and Breach Science Publishers. Zbl 0746.16001.

외부 링크

• “Module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Modules, category of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Unitary module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Rank of a module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Module”. 《nLab》 (영어).
• “Mod”. 《nLab》 (영어).
• “What is the general geometric interpretation of modules in algebraic geometry?” (영어).