콕서터 군

군론에서 콕서터 군(Coxeter群, 영어: Coxeter group)은 일련의 반사들로 구성되는 군이다. 단순 리 군의 바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.

정의

콕서터 군은 다음과 같이 표시될 수 있는 군이다.

${\displaystyle G=\langle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}|(r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }$

여기서 행렬 ${\displaystyle m_{ij}}$는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

• ${\displaystyle m_{ii}=1}$
• ${\displaystyle 2\leq m_{ij}\leq \infty }$ (${\displaystyle i\neq j}$). 여기서 ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$인 경우는 ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1}$의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.

이 행렬 ${\displaystyle m}$을 콕서터 군의 콕서터 행렬(Coxeter行列, 영어: Coxeter matrix)이라고 하고, ${\displaystyle n}$을 콕서터 군의 계수(階數, 영어: rank)라고 한다. 순서쌍 ${\displaystyle (G,\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\})}$을 콕서터 계(Coxeter系, 영어: Coxeter system)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 ${\displaystyle BC_{3}\cong A_{1}\times A_{3}}$이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표

콕서터 군의 콕서터 행렬 ${\displaystyle M}$은 다른 방법으로 표기할 수 있다.

콕서터 도표(Coxeter圖表, 영어: Coxeter diagram)은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 ${\displaystyle p}$가 붙은 그래프이다.

• 콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다.
• 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 ${\displaystyle p}$가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 ${\displaystyle \pi /p}$라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다.
  • ${\displaystyle p=2}$인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다.
  • ${\displaystyle p=3}$인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 ${\displaystyle \pi /3=60^{\circ }}$인 경우에는 변을 그리되, ${\displaystyle p}$를 통상적으로 생략한다.
  • ${\displaystyle p\neq 2,3}$인 경우 통상적으로 변 및 ${\displaystyle p}$의 값을 생략하지 않는다.

콕서터 행렬 ${\displaystyle M}$에 대응하는 슐레플리 행렬(영어: Schläfli matrix) ${\displaystyle C}$의 성분은 다음과 같다.

${\displaystyle C_{i,j}=-2\cos(\pi /M_{i,j})}$

즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 ${\displaystyle \pi /p}$의 분모 ${\displaystyle p}$를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다.

예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예

콕서터 군	A1×A1	A2	Ĩ1	A3	BC3	D4	Ã3
콕서터 도표	${\displaystyle \bullet \quad \bullet }$	${\displaystyle \bullet -\bullet }$	${\displaystyle \bullet {\stackrel {\infty }{-}}\bullet }$	${\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }$	${\displaystyle \bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet -\bullet }$	${\displaystyle \bullet -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}$	${\displaystyle \bullet <{\bullet \atop \bullet }>\bullet }$
콕서터 행렬	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right)}$
슐레플리 행렬	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}&0\\-{\sqrt {2}}&2&-1\\0&-1&2\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&-1\\0&-1&2&0\\0&-1&0&2\end{smallmatrix}}\right)}$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&-1&0&-1\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\-1&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right)}$
슐레플리 행렬의 고윳값	2, 2	1, 3	0, 4	2, 2±√2	2, 2±√3	2, 2, 2±√3	0, 2, 2, 4
분류	유한	유한	아핀	유한	유한	유한	아핀

콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 ${\displaystyle C}$의 고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

• 유한 콕서터 군(영어: finite Coxeter group): ${\displaystyle C}$의 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 이 경우는 유한군이며, 폴리토프(=초구의 테셀레이션)의 대칭군과 관련있다.
• 아핀 콕서터 군(영어: affine Coxeter group): ${\displaystyle C}$의 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 유클리드 공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다.
• 쌍곡선 콕서터 군(영어: hyperbolic Coxeter group): ${\displaystyle C}$는 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 쌍곡공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다.

성질

크기

유한 콕서터 군의 크기 ${\displaystyle g}$는 그 콕서터 수 ${\displaystyle h}$와 다음과 같이 관계있다.^[1]:233

• [p]: 2h/g_p = 1
• [p,q]: 8/g_p,q = 2/p + 2/q -1
• [p,q,r]: 64h/g_p,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
• [p,q,r,s]: 16/g_p,q,r,s = 8/g_p,q,r + 8/g_q,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1

호몰로지

콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다.^[2][3][4]

불변량

계수 ${\displaystyle n}$의 유한 콕서터 군 ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle n}$차원 (실수) 벡터 공간 ${\displaystyle V}$위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, ${\displaystyle G}$의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [V]^{G}}$을 생각할 수 있다.

이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [V]^{G}}$의 생성원들의 수는 군의 계수 ${\displaystyle n}$이며, 불변량 대수의 생성원(기본 불변량 영어: fundamental invariant)들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다.

• 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 ${\displaystyle h}$이며, 최솟값은 2이다.
• 차수 ${\displaystyle d}$의 생성원이 존재한다면, 차수 ${\displaystyle h+2-d}$의 생성원 역시 존재한다.

콕서터 원소

반사 ${\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{n}}$으로 생성되는 콕서터 군 ${\displaystyle G}$의 콕서터 원소는 다음과 같은 꼴의 원소이다.

${\displaystyle r_{\sigma (1)}r_{\sigma (2)}\dotsm r_{\sigma (n)}\in G\qquad (\sigma \in \operatorname {Sym} (n))}$

물론, 이는 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (n)}$에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 ${\displaystyle G}$의 콕서터 수(Coxeter數, 영어: Coxeter number)라고 한다.

길이 함수

 이 부분의 본문은 콕서터 길이 함수입니다.

콕서터 군 ${\displaystyle G}$ 위에는 다음과 같은 콕서터 길이 함수가 존재한다.

${\displaystyle \ell \colon G\to \mathbb {N} }$

이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 ${\displaystyle G}$ 위에 여려 부분 순서를 정의할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다.

분류

유한 콕서터 군

유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다.

기호	다른 기호	콕서터 표기법	콕서터 도표	크기	콕서터 수 h	관련 폴리토프	기본 불변량들의 차수
An	An	[3n-1]	${\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet }$	(n + 1)!	n + 1	n-단체	2, 3, 4, …, n + 1
BCn	Cn	[4,3n-2]	${\displaystyle \bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet -\cdots -\bullet }$	2n n!	2n	n-초입방체 / n-cross-polytope	2, 4, 6, …, 2n
Dn	Bn	[3n-3,1,1]	${\displaystyle \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}$	2n−1 n!	2n − 2	n-demihypercube	2, 4, 6, …, 2n − 2
E6	E6	[32,2,1]	${\displaystyle {\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet }$	72×6!	12	221, 122	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7	E7	[33,2,1]	${\displaystyle {{\bullet -\bullet } \atop {\qquad \bullet }}>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$	72×8!	18	321, 231, 132	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8	E8	[34,2,1]	${\displaystyle {{\bullet -\bullet } \atop {\qquad \bullet }}>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$	192×10!	30	421, 241, 142	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4	F4	[3,4,3]	${\displaystyle \bullet -\bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet -\bullet }$	1152	12	24-cell	2, 6, 8, 12
H3	G3	[3,5]	${\displaystyle \bullet -\bullet {\stackrel {5}{-}}\bullet }$	120	10	정이십면체 / 정십이면체	2, 6, 10
H4	G4	[3,3,5]	${\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet {\stackrel {5}{-}}\bullet }$	14400	30	120-cell / 600-cell	2, 12, 20, 30
I2(p)	D2p	[p]	${\displaystyle \bullet {\stackrel {p}{-}}\bullet }$	2p	p	정p각형	2, p

위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다.

${\displaystyle A_{2}=I_{2}(3)}$

${\displaystyle BC_{2}=I_{2}(4)}$

${\displaystyle D_{3}=A_{3}}$

또한, ${\displaystyle E_{n}}$ 및 ${\displaystyle H_{n}}$을 작은 ${\displaystyle n}$에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다.

${\displaystyle E_{5}=D_{5}}$

${\displaystyle E_{4}=A_{4}}$

${\displaystyle H_{2}=I_{2}(5)}$

바일 군은 유한 콕서터 군 가운데, 결정 조건(結晶條件, 영어: crystallographic condition)을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, ${\displaystyle p=4}$ 또는 ${\displaystyle p=6}$인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다.

• ${\displaystyle A_{n}}$
• ${\displaystyle BC_{n}}$. 이들은 리 군 ${\displaystyle B_{n}}$ 및 ${\displaystyle C_{n}}$의 바일 군이다.
• ${\displaystyle D_{n}}$
• ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$, ${\displaystyle E_{8}}$
• ${\displaystyle F_{4}}$
• ${\displaystyle I_{2}(6)}$. 이는 ${\displaystyle G_{2}}$의 바일 군이다.

유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다.

아핀 콕서터 군

아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다.

기호	비트 기호	콕서터 기호	관련 테셀레이션	콕서터 도표
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	Pn+1	[3[n]]	단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb)	${\displaystyle \bullet <{\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\cdots -\bullet }>\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	Sn+1	[4,3n-3,31,1]	반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤	${\displaystyle \bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	Rn+1	[4,3n−2,4]	하이퍼큐브 쪽매맞춤	${\displaystyle \bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	Qn+1	[ 31,1,3n−4,31,1]	demihypercubic honeycomb	${\displaystyle {\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	T7	[32,2,2]	222	${\displaystyle {\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet -\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	T8	[33,3,1]	331, 133	${\displaystyle {\bullet -\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet -\bullet }>\bullet -\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	T9	[35,2,1]	521, 251, 152	${\displaystyle {\bullet -\bullet \atop \qquad \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	U5	[3,4,3,3]	16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤	${\displaystyle \bullet -\bullet {\stackrel {4}{-}}\bullet -\bullet -\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	V3	[6,3]	정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤	${\displaystyle \bullet {\stackrel {6}{-}}\bullet -\bullet }$
${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	W2	[∞]	직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤	${\displaystyle \bullet {\stackrel {\infty }{-}}\bullet }$

아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다.

쌍곡선 콕서터 군

쌍곡선 콕서터 군(영어: hyperbolic Coxeter group)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다.

역사

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다.^[5][6] 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다.