준연접층

대수기하학과 복소기하학에서 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층은 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.

정의

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 국소 단면 생성 가군층(局所斷面生成加群層, 영어: sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 층의 완전열 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$이 존재하게 되는 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$와 기수 ${\displaystyle \lambda }$가 존재한다.

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층이라고 한다.^{[1]:45, (5.1.3)}

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 층의 완전열 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$이 존재하게 되는 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$와 기수 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$가 존재한다.

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.

성질

함의 관계

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

연접층 ⊆^{[1]:47, (5.3.2)} 유한 표시 가군층 ⊆^{[1]:46, (5.2.5)} 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층

국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층^{[1]:48, (5.4.1)}

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[2]

유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆^{[1]:48, (5.4.1)} 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층

동치 조건

스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 준연접 가군층이다.
• 임의의 아핀 열린 부분 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$-가군층으로서 어떤 ${\displaystyle R}$-가군으로부터 유도된 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$-가군층과 동형이다.
• ${\displaystyle X}$의 어떤 아핀 열린 덮개 ${\displaystyle \{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R_{i}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}}$-가군층으로서 어떤 ${\displaystyle R_{i}}$-가군으로부터 유도된 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}}$-가군층과 동형이다.

연산

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 스킴 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$
• 스킴 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

그렇다면, ${\displaystyle Y}$ 위의 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 당김 ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 준연접층이다. 반대로, ${\displaystyle X}$ 위의 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$가 주어졌으며, ${\displaystyle f}$가 준콤팩트 준분리 사상이라면 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 밂 ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle Y}$ 위의 연접층이다.

준연접층의 범주

일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}$는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 ${\displaystyle X}$가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.

• 그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다.
• 포함 함자 ${\displaystyle I\colon \operatorname {QCoh} (X)\to {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}}$는 오른쪽 수반 함자 ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}\to \operatorname {QCoh} (X)}$를 가진다.
  • 따라서, ${\displaystyle I}$는 모든 쌍대 극한을 보존하며 오른쪽 완전 함자이다. (모든 가군층의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}}$ 역시 그로텐디크 아벨 범주이며 특히 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.)
  • 따라서, ${\displaystyle Q}$는 모든 극한을 보존하며 왼쪽 완전 함자이다.

즉, ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}$에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}$에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 ${\displaystyle Q}$를 가한 것이다.

아핀 스킴 위의 준연접층

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$-가군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$
• ${\displaystyle R}$의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (\operatorname {Spec} R)}$

구체적으로, ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} (R_{r});{\tilde {M}})=R_{r}\otimes _{R}M}$

여기서

${\displaystyle R_{r}=(\{1,r,r^{2},\dots \})^{-1}R}$

는 ${\displaystyle r}$로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$의 열린집합을 정의한다. 반대로, ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 준연접 가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대응하는 ${\displaystyle R}$-가군은 ${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {F}})}$이다.

예

스킴 ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분 스킴 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히, ${\displaystyle X}$ 전체에 대응하는 영 준연접층 ${\displaystyle 0}$은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합 ${\displaystyle \varnothing }$에 대응하는 구조층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.)

체 ${\displaystyle K}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$ 위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두 ${\displaystyle K}$-벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이다.)

이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층

이산 값매김환 ${\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa =D/{\mathfrak {m}})}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 대응하며, 이는 잉여류체 ${\displaystyle \kappa }$에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼 ${\displaystyle 0}$에 대응하며, 이는 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} D=K}$에 해당한다.

시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$ 위의 임의의 가군 (준)층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\operatorname {Spec} D)=M}$. 이는 ${\displaystyle D}$-가군이다.
• ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\{0\})=N}$. 이는 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} D\to \{0\}}$의 제약 사상 ${\displaystyle \phi \colon M\otimes _{D}K\to N}$. 이는 ${\displaystyle K}$-선형 변환이다.

즉, ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$ 위의 가군층은 위와 같은 ${\displaystyle (M,N,\phi )}$로 주어진다.

아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$ 위의 준연접 가군층은 ${\displaystyle D}$-가군 ${\displaystyle M}$만으로 주어진다. 이 경우, ${\displaystyle \{0\}}$의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라) ${\displaystyle M\otimes _{A}K}$이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$-가군층 ${\displaystyle (M,N,\phi )}$ 가운데 준연접층인 것은 ${\displaystyle \phi }$가 ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 동형 사상인 것이다.

각주

1. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 2016년 3월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 1월 27일에 확인함.
2. Stacks project: 29.9

외부 링크

• “Quasi-coherent sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Quasicoherent sheaf”. 《nLab》 (영어).
• Mathew, Akhil (2011년 7월 30일). “Quasi-coherent sheaves, presentable categories, and a result of Gabber”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).
• “Does Qcoh(X) admit a generating set?” (영어). Math Overflow.
• “Examples of 𝒪_X-modules that are not quasi-coherent sheaves”. 《Stack Exchange》 (영어).