당김 (범주론)

범주론에서 당김(영어: pullback 풀백^[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올곱(미국 영어: fibered product, 영국 영어: fibred product)이라고 불린다.

정의

어떤 범주에서 대상 ${\displaystyle X,Y,Z}$ 및 사상

${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}$

이 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 당김 ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 ${\displaystyle P}$ 및 사상 ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$으로 구성된다.

${\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {p_{1}}{\to }}&X\\{\scriptstyle p_{2}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\Y&{\underset {g}{\to }}&Z\end{matrix}}}$

위와 같은 가환 그림을 당김 사각형(영어: pullback square)이라고 한다. 이 그림에서, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle g}$에 대한 당김 또는 밑 변환(-變換, 영어: base change)이라고 한다.

이는 범주론적 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 ${\displaystyle P'}$ 및 사상 ${\displaystyle p'_{1}\colon P'\to X}$, ${\displaystyle p'_{2}\colon P'\to Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\circ p'_{1}=g\circ p'_{2}}$라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 ${\displaystyle u\colon P'\to P}$가 유일하게 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&P'\\^{p'_{1}}&\swarrow &\downarrow \scriptstyle \exists !u&\searrow &^{p'_{2}}\\X&\leftarrow &P&\rightarrow &Y\\_{f}&\searrow &&\swarrow &_{g}\\&&Z\end{matrix}}}$

만약 ${\displaystyle X=Y}$이며 ${\displaystyle f=g}$일 경우, ${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {f}}X}$의 당김은 핵쌍(核雙, 영어: kernel pair)이라고 한다.

밑 변환

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상에 대한 어떤 성질 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$가 주어졌다고 하자. (즉, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}$가 주어졌다고 하자.)

만약 모든 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 임의의 사상 ${\displaystyle Y'\to Y}$에 대하여 밑 변환 ${\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$ 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ 사상이라면, ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$를 밑 변환에 대하여 안정적인 성질(영어: property invariant under base change)이라고 한다.

밑 변환에 대하여 불안정한 성질 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$에 대하여, 보편 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ 사상(영어: universally ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ morphism)은 다음 조건을 만족시키는 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

• 임의의 사상 ${\displaystyle Y'\to Y}$에 대하여, 밑 변환 ${\displaystyle f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$은 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ 사상이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상 ${\displaystyle f\colon B'\to B}$에 대하여 조각 범주 사이의 함자

${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}/B'}$

가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle f^{*}\colon (X\to B)\mapsto (X\times _{B}B'\to B')}$

${\displaystyle f^{*}\colon {\begin{pmatrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \\Y&\to &B\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}X\times _{B}B'\\{\scriptstyle f^{*}g}\downarrow &\searrow \\Y\times _{B}B'&\to &B\end{pmatrix}}}$

여기서 사상 ${\displaystyle X\times _{B}B'\to Y\times _{B}B'}$는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B}B'&\cong &X\times _{Y}(Y\times _{B}B')&\to &Y\times _{B}B'&\to &B'\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&X&\to &Y&\to &B\end{matrix}}}$

즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며, ${\displaystyle X\times _{Y}(Y\times _{B}B')\cong X\times _{B}B'}$이 된다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 토포스라면, 그 위의 조각 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}/B}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}/B'}$ 역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

${\displaystyle f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}}$

또한, ${\displaystyle (f_{!},f^{*},f_{*})}$는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

성질

곱과의 관계

(유한) 곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱

${\displaystyle X{\xleftarrow {\pi _{X}}}X\times Y{\xrightarrow {\pi _{Y}}}Y}$

이 주어졌을 때,

${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}$

의 당김은

${\displaystyle X\times Y{\xrightarrow[{g\circ \pi _{Y}}]{f\circ \pi _{X}}}Z}$

의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다.

만약 ${\displaystyle 1}$이 끝 대상일 경우, ${\displaystyle X\times _{1}Y\cong X\times Y}$이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

당김 사각형의 붙임

다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet &\to &\bullet \\\end{matrix}}}$

이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, 당김 보조정리(영어: pullback lemma)에 따르면 다음이 성립한다.

• 오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 동치이다.

그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)

즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.)

오른쪽	왼쪽	전체	가능?
예	예	예	가능
예	예	아니오	불가능
예	아니오	예	불가능
예	아니오	아니오	가능
아니오	예	예	가능
아니오	예	아니오	가능
아니오	아니오	예	가능
아니오	아니오	아니오	가능

예

대수적 범주

대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 올곱으로 불린다. 다음과 같은 대수 구조 및 준동형

${\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Z{\xleftarrow {g}}Y}$

의 당김은 다음과 같다.

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\in Z\}=\bigsqcup _{z\in Z}f^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y}$

이 경우 사상 ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to X}$, ${\displaystyle X_{\times }ZY\to Y}$는 자연스러운 사영 함수 ${\displaystyle (x,y)\mapsto x}$, ${\displaystyle (x,y)\mapsto y}$이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$는 아무런 연산을 갖지 않는 대수 구조이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$, 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$, 유사환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$, 환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$, 가환환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$ 등에서도 모두 당김이 존재한다.

위상 공간

위상 공간의 범주에서, ${\displaystyle X\to Z\leftarrow Y}$의 당김은 곱공간 ${\displaystyle X\times Y}$의 다음과 같은 부분 공간이다.

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=f(y)\}\subseteq X\times Y}$

집합으로서 이는 집합의 범주에서의 당김과 같다.

특히, 올다발 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle X\to B}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle E\times _{B}X}$는 ${\displaystyle X}$ 위에서 정의된 ${\displaystyle \pi }$의 당김 올다발이다. "당김"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

스킴

스킴의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$는 유한 완비 범주이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자 ${\displaystyle \operatorname {Sch} \to \operatorname {Top} }$ 아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다.

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것은 다음이 있다.

• 전사 함수
• 준콤팩트 함수
• 닫힌 몰입
• 열린 몰입
• 분리 사상
• 준분리 사상
• 유한 사상
• 국소 유한 표시 사상
  • 유한 표시 사상 = 준콤팩트 함수 + 준분리 사상 + 국소 유한 표시 사상
• 국소 유한형 사상
  • 유한형 사상 = 준콤팩트 함수 + 국소 유한형 사상
• 고유 사상
• 평탄 사상
• 형식적 매끄러운 사상
  • 매끄러운 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상
• 형식적 비분기 사상
  • 비분기 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 비분기 사상
  • 에탈 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상 + 형식적 비분기 사상

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 불안정한 것은 다음이 있다.

• 전단사 함수
• 단사 함수
• 열린 함수
• 닫힌 함수
• 우세 사상
• 위상 동형

같이 보기

• 곱 (범주론)
• 밂 (범주론)
• 데카르트 사상

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Fibre product of objects in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pullback map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Pullback”. 《nLab》 (영어).
• “Kernel pair”. 《nLab》 (영어).
• “Base change”. 《nLab》 (영어).