역사상

범주론에서 왼쪽 역사상(-逆寫像, 영어: left inverse morphism)과 오른쪽 역사상(-逆寫像, 영어: right inverse morphism)은 각각 왼쪽 또는 오른쪽에서 합성하였을 때 항등 사상이 되는 사상이다. 왼쪽 역사상 및 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 각각 분할 단사 사상(分割單射寫像, 영어: split monomorphism)과 분할 전사 사상(分割全射寫像, 영어: split epimorphism)이라고 한다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 두 사상

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle g\colon Y\to X}$

이 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$가 성립할 경우, 이를 다음과 같이 표현한다.

• ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle f}$의 왼쪽 역사상(-逆寫像, 영어: left inverse morphism) 또는 수축(收縮, 영어: retraction)이다.
• ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle g}$의 오른쪽 역사상(-逆寫像, 영어: right inverse morphism) 또는 단면(斷面, 영어: section)이다.
• 만약 추가로 ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$가 성립한다면 (즉, ${\displaystyle g}$가 ${\displaystyle f}$의 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상이라면), ${\displaystyle g}$를 ${\displaystyle f}$의 양쪽 역사상(兩-逆寫像,영어: two-sided inverse morphism)이라고 한다.

여기서 "수축"/"단면"이라는 이름은 위상수학에서 유래하였다. 즉, 오른쪽 역사상은 위상 공간의 범주에서 올다발의 단면을 일반화한 것이다.

왼쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 단사 사상(分割單射寫像, 영어: split monomorphism)이라고 한다. 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 전사 사상(分割全射寫像, 영어: split epimorphism)이라고 한다. 양쪽 역사상을 갖는 사상을 동형 사상이라고 한다.

어떤 범주에서 모든 단사 사상이 분할 단사 사상이라면, 이 범주에서 선택 공리가 성립한다고 한다.

성질

함의 관계

이름과 같이, 모든 분할 단사 사상은 항상 단사 사상이며, 모든 분할 전사 사상은 항상 전사 사상이다.

증명:

${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$를 만족시킨다고 하자.

사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 ${\displaystyle h,h'\colon Z\to X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\circ h=f\circ h'}$이라면 ${\displaystyle h=g\circ f\circ h=g\circ f\circ h'=h'}$이다. 따라서 분할 단사 사상 ${\displaystyle f}$는 단사 사상이다.

마찬가지로, 사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 ${\displaystyle h,h'\colon Y\to Z}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle h\circ g=h'\circ g}$라면 ${\displaystyle h=h\circ g\circ f=h'\circ g\circ f=h'}$이다. 따라서 분할 전사 사상 ${\displaystyle f}$는 전사 사상이다.

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 서로 쌍대 개념이다. 즉, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 분할 단사 사상은 그 반대 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$에서의 분할 전사 사상이며, 그 역도 성립한다.

임의의 범주의 사상에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

• 단사 사상이며, 분할 전사 사상이다.
• 전사 사상이며, 분할 단사 사상이다.
• 동형 사상이다.

(그러나 단사 사상이자 전사 사상인 사상이 동형 사상일 필요는 없다.)

증명:

두 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 주어졌으며, ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f\circ g\circ f=\operatorname {id} _{Y}\circ f}$이며 ${\displaystyle g\circ f\circ g=g\circ \operatorname {id} _{Y}}$이다.

만약 ${\displaystyle f}$가 전사 사상이라고 하면, ${\displaystyle (f\circ g)\circ f=\operatorname {id} _{Y}\circ f}$이므로 ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$이며, 따라서 ${\displaystyle f}$ 및 ${\displaystyle g}$는 서로 양쪽 역사상이다. 마찬가지로, 만약 ${\displaystyle g}$가 단사 사상이라고 하면, ${\displaystyle g\circ (f\circ g)=g\circ \operatorname {id} _{Y}}$이므로 ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$이며, 따라서 ${\displaystyle f}$ 및 ${\displaystyle g}$는 서로 양쪽 역사상이다.

유일성

주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.

단사·사영 대상과의 관계

 이 부분의 본문은 단사 대상입니다.

임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다.

예

집합

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.

• 분할 단사 사상은 공역이 공집합이거나 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수이다.
• 전사 사상과 분할 전사 사상의 개념이 일치한다. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리와 동치이다.)

군

 이 부분의 본문은 반직접곱입니다.

군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이며, 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다. 이 범주에서, 분할 단사·전사 사상의 개념은 반직접곱과 깊은 관련을 갖는다.

구체적으로, 단사 군 준동형 ${\displaystyle i\colon H\hookrightarrow G}$가 분할 단사 사상일 필요충분조건은 다음과 같다.

• ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle i}$에 의하여 ${\displaystyle G}$의 부분군을 이루며, ${\displaystyle G\cong N\rtimes H}$인 정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$이 존재한다. (여기서 ${\displaystyle \rtimes }$는 반직접곱을 뜻한다.)

마찬가지로, 전사 군 준동형 ${\displaystyle q\colon G\twoheadrightarrow Q}$가 분할 전사 사상이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

• ${\displaystyle G\cong \ker q\rtimes Q}$이다. (여기서 ${\displaystyle \rtimes }$는 반직접곱을 뜻한다.)

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서는 분할 단사 사상이 아닌 단사 사상이 존재하며, 분할 전사 사상이 아닌 전사 사상이 존재한다.

구체적으로, ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서, 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이며, 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이며, 동형 사상은 위상 동형이다. 전단사 함수이자 연속 함수이지만, 그 역함수가 연속 함수가 아니어서 위상 동형이 아닌 함수가 존재한다. 이러한 함수는 단사 사상이자 전사 사상이지만, 분할 단사 사상이 아니며 분할 전사 사상도 아니다.

원순서 집합

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$을 작은 범주로 간주하였을 때, 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 동형 사상이다.

아벨 범주

 이 부분의 본문은 분할 완전열입니다.

아벨 범주에서 사상 ${\displaystyle f\colon A\to B}$이 단사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B\to \operatorname {coker} f\to 0}$

(여기서 ${\displaystyle 0}$은 아벨 범주의 영 대상이며, ${\displaystyle \operatorname {coker} }$는 여핵을 뜻한다.) 이 경우, ${\displaystyle f}$가 분할 단사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

마찬가지로, 아벨 범주에서 사상 ${\displaystyle g\colon B\to C}$이 전사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.

${\displaystyle 0\to \ker g\to B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

(여기서 ${\displaystyle 0}$은 아벨 범주의 영 대상이며, ${\displaystyle \ker }$는 핵을 뜻한다.) 이 경우, ${\displaystyle g}$가 분할 전사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

외부 링크

• “Retract”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Inverse”. 《nLab》 (영어).
• “Section”. 《nLab》 (영어).
• “Retract”. 《nLab》 (영어).
• “Split monomorphism”. 《nLab》 (영어).
• “Split epimorphism”. 《nLab》 (영어).
• “Definition: retraction”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: retract”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: section (category theory)”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: split monomorphism”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: split epimorphism”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Split monomorphism is monic”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Split epimorphism is epic”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Monomorphism that is split epimorphism is split monomorphism”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Epimorphism that is split monomorphism is split epimorphism”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Epimorphism into projective object splits”. 《ProofWiki》 (영어).
• Yuan, Qiaochu (2012년 10월 1일). “Split epimorphisms and split monomorphisms”. 《Annoying Precision》 (영어).