바나흐 대수

함수해석학에서 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다.^[1][2][3] 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수(영어: normed ${\displaystyle \mathbb {K} }$-algebra) ${\displaystyle (A,+,0,\cdot ,1,\|\|)}$는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.^{[1]:4, Definition I.10}

• ${\displaystyle (A,+,0,\|\|)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이다.
• ${\displaystyle (A,+,0,\cdot ,1)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-결합 대수이다.

또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다.

• (노름 부등식) ${\displaystyle \Vert a\cdot b\Vert \leq \Vert a\Vert \Vert b\Vert \qquad \forall a,b\in A}$
• (항등원의 노름) ${\displaystyle \|1\|=1}$

(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.^{[4]:246, §10.1})

만약 ${\displaystyle X}$가 사실 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 거리 공간이라면), ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수(영어: Banach ${\displaystyle \mathbb {K} }$-algebra)라고 한다.^{[1]:4, Definition I.10[4]:245, Definition 10.1}

유니터리 원소

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. 이는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 ${\displaystyle a\in \operatorname {Unit} (A)}$ 가운데 노름이 1인 것을 유니터리 원소(unitary元素, 영어: unitary element)라고 한다.

연산

반대 대수

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수 ${\displaystyle (A,\cdot ,\|\|)}$에 대하여, 그 반대환 ${\displaystyle A^{\operatorname {op} }=(A,\cdot ^{\operatorname {op} })}$, 즉

${\displaystyle a\cdot ^{\operatorname {op} }b=b\cdot a\qquad (a,b\in A)}$

에 같은 노름을 부여하면, ${\displaystyle A^{\operatorname {op} }}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수를 이룬다.^{[1]:6, Example I.17} 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 ${\displaystyle A}$가 바나흐 대수라면 ${\displaystyle A^{\operatorname {op} }}$ 역시 바나흐 대수이다.

직합

유한 또는 무한 개의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수들 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간

${\displaystyle A={\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}\colon \sup _{i\in I}\|a_{i}\|<\infty \right\}}$

위에 L¹ 노름

${\displaystyle \|(a_{i})_{i\in I}\|=\sup _{i=1}^{n}\|a_{i}\|_{A_{i}}\qquad (a\in A)}$

및 성분별 곱

${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}\cdot (b_{i})_{i\in I}=(a_{i}b_{i})_{i\in I}\qquad (a,b\in A)}$

을 부여하면, 이 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 ${\displaystyle A}$의 항등원은

${\displaystyle 1_{A}=(1_{A_{1}},1_{A_{2}},\dotsc ,1_{A_{n}})}$

이다.

몫

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수 ${\displaystyle A}$의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}$가 주어졌으며, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$가 닫힌집합이며, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\neq A}$라고 하자. 그렇다면, 몫환 ${\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}$ 위에는 자연스러운 노름

${\displaystyle \|a+{\mathfrak {I}}\|=\inf _{i\in {\mathfrak {I}}}\|a+i\|}$

을 줄 수 있다. 그렇다면, ${\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 ${\displaystyle 1_{A}+{\mathfrak {I}}}$이다.

복소화

실수 바나흐 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌을 때, 그 복소화

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

위에 노름

${\displaystyle \|a\otimes _{\mathbb {R} }z\|=\|a\||z|}$

과 곱셈

${\displaystyle (a\otimes _{\mathbb {R} }z)\cdot (b\otimes _{\mathbb {R} }w)=ab\otimes _{\mathbb {R} }zw}$

을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.

완비화

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 완비화 ${\displaystyle {\bar {A}}}$는 다음과 같이 자연스럽게 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

${\displaystyle \|{\bar {a}}\|_{\bar {A}}=\lim _{i\to \infty }\|a_{i}\|_{A}\qquad ({\bar {a}}\in {\bar {A}})}$

(여기서 ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A}$는 ${\displaystyle {\bar {a}}\in {\bar {A}}}$로 수렴하는, ${\displaystyle A}$ 속의 임의의 코시 열이다.) 그 위에 곱셈

${\displaystyle {\bar {a}}{\bar {b}}=\lim _{i\to \infty }a_{i}b_{i}\qquad ({\bar {a}},{\bar {b}}\in {\bar {A}})}$

을 정의하면, ${\displaystyle {\bar {A}}}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다. (여기서 ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A}$와 ${\displaystyle (b_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A}$는 각각 ${\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}}\in {\bar {A}}}$로 수렴하는, ${\displaystyle A}$ 속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를 ${\displaystyle A}$의 완비화(完備化, 영어: completion)라고 한다.^{[1]:5, Definition I.13}

무게 부여

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수 ${\displaystyle A}$의 원소 ${\displaystyle w\in A}$가 주어졌으며, ${\displaystyle \|w\|\leq 1}$이라고 하자. 또한, ${\displaystyle w}$가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자.

${\displaystyle w\in \operatorname {Z} (A)\cap \operatorname {Unit} (A)}$

이 경우, ${\displaystyle A}$ 위에 새 이항 연산 ${\displaystyle \star _{w}}$를 다음과 같이 부여하자.

${\displaystyle a\star _{w}b=wab\qquad \forall a,b\in A}$

그렇다면 ${\displaystyle (A,\star _{w},w^{-1})}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이루며, ${\displaystyle \star _{w}}$에 대한 항등원은 ${\displaystyle w^{-1}}$이다.

아렌스 곱

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수 ${\displaystyle A}$의 이중 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle A''}$ 위에 (이중) 쌍대 노름 및 곱셈

${\displaystyle \phi \chi \colon f\mapsto \phi (a\mapsto G(f(a)))\qquad (\phi ,\chi \in A'',\;f\in A',\;a\in A)}$

을 정의하자. 그렇다면, ${\displaystyle A''}$는 항상 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다. (만약 ${\displaystyle A}$가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 ${\displaystyle A''}$은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 아렌스 곱(영어: Arens product)이라고 한다.

성질

환론적 성질

겔판트-마주르 정리(Гельфанд-Mazur定理, 영어: Gelfand–Mazur theorem)에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 나눗셈환이다.
• 영역이며, 모든 주 아이디얼이 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (실수체) · ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (복소수체) · ${\displaystyle \mathbb {H} }$ (사원수 대수) 가운데 하나이다.

또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 밖에 없다.

증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 밖에 없다):

단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 공집합이 아닌 스펙트럼을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) ${\displaystyle A}$가 복소수 바나흐 대수라고 하고, ${\displaystyle A}$의 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 임의의 원소 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle \lambda _{a}\in \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle a}$의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, ${\displaystyle \lambda _{a}-a}$는 가역원이 아니다. 가정에 따라서 ${\displaystyle a=\lambda _{a}}$이다. 즉, ${\displaystyle a}$의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 ${\displaystyle a\mapsto \lambda _{a}}$는 동형 사상 ${\displaystyle A\cong \mathbb {C} }$를 이룬다.

실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 밖에 없다.

복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle B}$의 임의의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in B}$에 대하여, ${\displaystyle ab-ba\neq 1}$이다. (이는 ${\displaystyle ab}$와 ${\displaystyle ba}$의 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)

위상수학적 성질

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수는 위상환을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 연속 함수를 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수 ${\displaystyle B}$의 가역원군 ${\displaystyle \operatorname {Unit} (B)\subseteq B}$는 ${\displaystyle B}$의 열린집합이며, 역원 함수

${\displaystyle (-)^{-1}\colon \operatorname {Unit} (B)\to \operatorname {Unit} (B)}$

는 연속 함수이다.

스펙트럼

 이 부분의 본문은 스펙트럼 (함수해석학)입니다.

임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수 ${\displaystyle B}$의 원소 ${\displaystyle b\in B}$의 스펙트럼은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma (b)=\left\{\lambda \in \mathbb {K} \colon \nexists (\lambda -b)^{-1}\right\}}$

이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.

겔판트 표현

가환 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle B}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• ${\displaystyle B}$의 극대 아이디얼의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Max} (B)}$
• (항등원을 보존하는) 결합 대수 준동형 ${\displaystyle B\to \mathbb {C} }$의 집합 ${\displaystyle \Delta (B)}$. (이는 물론 전단사 함수이어야 한다.)

구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.

극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)}$에 대하여, ${\displaystyle B/{\mathfrak {m}}}$은 체인 복소수 바나흐 대수이므로, ${\displaystyle B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C} }$이다. 따라서, 몫 준동형 ${\displaystyle (/\mathbb {m} )\colon B\twoheadrightarrow B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C} }$이 존재한다.

이 때문에, ${\displaystyle B}$의 극대 아이디얼은 지표(指標, 영어: character)라고도 한다.

임의의 지표 ${\displaystyle \chi \in \Delta (B)}$는 항상 연속 함수이다. (이는 그 핵 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)}$는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, ${\displaystyle \Delta (B)}$ 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, ${\displaystyle \Delta (B)}$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )}$를 정의할 수 있다.

이 경우, ${\displaystyle B}$의 겔판트 표현(Гельфанд表現, 영어: Gelfand representation)은 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat {\;}}\colon B\to {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\hat {b}}\colon \chi \mapsto \chi (b)\qquad (b\in B,\;\chi \in \Delta (B))}$

이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sigma (b)=\sigma ({\hat {b}})=\{\chi (b)\colon \chi \in \Delta (B)\}\subseteq \mathbb {C} \qquad \forall b\in B}$

여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )}$에서 취한 스펙트럼이다.

예

연속 함수 공간

공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 위에 정의된 연속 함수의 공간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}$은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다.^{[4]:247, Example 10.3(a)}

나눗셈 대수

실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ · 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ · 사원수 대수 ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 ${\displaystyle \mathbb {C} }$는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)

유클리드 공간

자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 유한 차원 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$ 위에 1-노름

${\displaystyle \|(a_{1},\dotsc ,a_{n})\|=\max\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}}$

및 성분별 곱

${\displaystyle (a_{1},\dotsc ,a_{n})\cdot (b_{1},\dotsc ,b_{n})=(a_{1}b_{1},\dotsc ,a_{n}b_{n})}$

을 부여하면, 이는 가환 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은

${\displaystyle \operatorname {Unit} (V)=(\mathbb {K} ^{\times })^{n}}$

이다.

유계 작용소

1차원 이상의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 ${\displaystyle V\to V}$ 유계 작용소들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 대수를 이룬다.^{[1]:5, Example I.14} 만약 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이라면, ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다.^{[1]:5, Example I.14[4]:248, Example 10.3(b)}

C* 대수

 이 부분의 본문은 C* 대수입니다.

모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수 ${\displaystyle (A,^{*})}$가 주어졌을 때, 그 위에 노름

${\displaystyle \|a\|=\sup \left\{{\sqrt {|\lambda |}}\colon \lambda \in \mathbb {C} ,\;\lambda -a^{*}a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}}$

을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다.

위상군 위의 함수

콤팩트 하우스도르프 위상군 ${\displaystyle G}$ 위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(G;\mathbb {K} )}$은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\;\mathrm {d} y\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{1}(G;\mathbb {K} ))}$

을 부여하면, 이는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다.

역사

‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.^[5]

바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오(일본어: 南雲 道夫, 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’(독일어: linearer metrischer Ring)이라는 이름으로 도입하였다.^[5][6] 이후 이즈라일 겔판트가 이를 ‘노름환’(독일어: normierter Ring)이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다.^[5][7] 1945년에 워런 앰브로즈(영어: Warren Ambrose, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’(영어: Banach algebra)라는 용어를 도입하였다.^[5][8]

아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스(독일어: Richard Friederich Arens, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다.^[9][10]

겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데^[11][12], 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.^[7]

각주

1. Bonsall, Frank F.; Duncan, John (1973). 《Complete normed algebras》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 80. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-65669-9. ISBN 978-3-642-65671-2. ISSN 0071-1136.
2. Dales, H. Garth; Aeina, Pietro; Eschmeier, Jörg; Laursen, Kjeld; Willis, George A. (2003). 《Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis》. Cambridge University Press (영어). ISBN 0-521-53584-0.
3. Mosak, Richard D. (1975). 《Banach algebras》. Chicago Lectures in Mathematics (영어). ISBN 0-226-54203-3.
4. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics 2판. MacGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8. MR 1157815. Zbl 0867.46001.
5. Runde, Volker (2012년 6월). “Why Banach algebras?” (PDF). 《Canadian Mathematical Society Notes》 (영어) 44 (3): 10-11. arXiv:1206.1366. Bibcode:2012arXiv1206.1366R. 2016년 12월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 1월 29일에 확인함.
6. Nagumo, Mitio (1936). “Einige analytische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen”. 《Japanese Journal of Mathematics》 (독일어) 13: 61–80.
7. Gelfand, I. M. (1941). “Normierte Ringe”. 《Математический сборник》 (독일어) 51 (1): 3–24. JFM 67.0406.02. MR 4726. Zbl 0024.32002.
8. Ambrose, Warren (1945). “Structure theorems for a special class of Banach algebras”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 57: 364–386. doi:10.1090/S0002-9947-1945-0013235-8. MR 13235.
9. Arens, Richard Friedrich (1951). “Operations induced in function classes”. 《Monatshefte für Mathematik》 (영어) 55: 1–19. ISSN 0026-9255.
10. Arens, Richard Friedrich (1951). “The adjoint of a bilinear operation”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 2: 839–848. doi:10.1090/S0002-9939-1951-0045941-1. MR 45941.
11. Mazur, Stanisław (1938). “Sur les anneaux linéaires”. 《Comptus Rendus de l’Academie des Sciences》 (프랑스어) 207: 1025–1027. JFM 64.0086.01.
12. Mazet, Pierre (2007). “La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées” (PDF). 《Gazette de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 111: 5–11. MR 2289675. Zbl 1158.46035. 2016년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 1월 29일에 확인함.

외부 링크

• “Banach algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Commutative Banach algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Normed algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Banach function algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Arens multiplication”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Moslehian, Mohammad Sal. “Banach algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gelfand transform”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Moslehian, Mohammad Sal. “Gelfand-Mazur theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Banach algebra”. 《nLab》 (영어).
• “Gelfand-Mazur theorem”. 《nLab》 (영어).