부분 대상 분류자

범주론에서 부분 대상 분류자(部分對象分類子, 영어: subobject classifier)는 주어진 대상의 각각의 부분 대상들을, 특정한 대상 ${\displaystyle 2}$로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론에서의 지시 함수의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스에서 항상 존재한다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 끝 대상 ${\displaystyle 1}$을 갖는다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 부분 대상 분류자는 다음 조건을 만족시키는, 대상 ${\displaystyle 2}$ 및 사상 ${\displaystyle \top \colon 1\to 2}$의 순서쌍이다. (대상 ${\displaystyle 2}$는 문헌에 따라 ${\displaystyle \Omega }$로 표기하기도 한다.)

• 모든 단사 사상 ${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y}$에 대하여, ${\displaystyle Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1}$이 ${\displaystyle Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1}$의 당김이 되는 사상 ${\displaystyle \chi _{\iota }\colon Y\to 2}$이 유일하게 존재한다.

여기서 사상 ${\displaystyle \chi _{\iota }}$를 ${\displaystyle \iota }$의 지시 사상(영어: indicator morphism)이라고 한다.

유한 완비 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 대상 ${\displaystyle 2}$ 및 사상 ${\displaystyle \top \colon 1\to 2}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle (2,\top )}$을 강한 부분 대상 분류자(強-部分對象分類子, 영어: strong subobject classifier)라고 한다.

• 모든 강한 단사 사상 ${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow Y}$에 대하여, ${\displaystyle Y{\xleftarrow {\iota }}X\to 1}$이 ${\displaystyle Y{\xrightarrow {\chi _{\iota }}}2{\xleftarrow {\top }}1}$의 당김이 되는 사상 ${\displaystyle \chi _{\iota }\colon Y\to 2}$이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상은 부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

예

각종 토포스에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.

토포스	부분 대상 분류자
집합의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	두 개의 원소를 가진 집합 ${\displaystyle \{\bullet _{1},\bullet _{2}\}}$
유한 집합의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {FinSet} }$	두 개의 원소를 가진 집합 ${\displaystyle \{\bullet _{1},\bullet _{2}\}}$
위상 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ 위의 (집합) 층의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}$	열린집합 ${\displaystyle V\subset X}$에 대하여, 열린 부분 집합들의 층 ${\displaystyle {\mathcal {U}}(V)=\{U\cap V|U\in {\mathcal {U}}\}}$
작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 준층의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}$	대상 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle C}$ 위의 모든 체들의 집합의 준층 ${\displaystyle \operatorname {Sieve} (C)}$
토포스 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 및 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {T}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {T}}/X}$	${\displaystyle {\mathcal {T}}}$의 부분 대상 분류자 ${\displaystyle 2_{\mathcal {T}}\in {\mathcal {T}}}$에 대하여, 사영 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{2}\colon 2_{\mathcal {T}}\times X\twoheadrightarrow X}$

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk (1992). 《Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory》. Universitext (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0927-0. ISBN 978-0-387-97710-2. ISSN 0172-5939. Zbl 0822.18001. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• “Subobject classifier”. 《nLab》 (영어).
• “Categorical logic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.