일차 독립 집합

선형대수학에서 일차 독립 집합(一次獨立集合, 영어: linearly independent set) 또는 선형 독립 집합(線型獨立集合)은 모든 벡터가 남은 벡터들의 일차 결합으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 집합 ${\displaystyle I\subseteq V}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle I}$를 ${\displaystyle V}$의 일차 독립 집합이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{n}\in I}$ 및 ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle c_{1}i_{1}+\cdots +c_{n}i_{n}=0_{V}}$라면, ${\displaystyle 0_{K}=c_{1}=\cdots =c_{n}}$이다. (여기서 ${\displaystyle 0_{V}\in V}$와 ${\displaystyle 0_{K}\in K}$는 각각 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle K}$의 덧셈 항등원이다.)
• 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, ${\displaystyle i\not \in \operatorname {Span} _{K}(I\setminus \{i\})}$이다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Span} _{K}(-)}$는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.)

두 조건의 동치는 체의 모든 0이 아닌 원소가 가역원이라는 성질에 의존하며, 일반적인 환 위의 가군에서는 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 함의한다. 일차 독립 집합이 아닌 벡터 공간의 부분 집합을 일차 종속 집합(一次從屬集合, 영어: linearly dependent set) 또는 선형 종속 집합(線型從屬集合)이라고 한다. 부분 중복 집합에 대하여 마찬가지로 일차 독립 중복집합(一次獨立重復集合, 영어: linearly independent multiset)과 일차 종속 중복집합(一次從屬重復集合, 영어: linearly dependent multiset)을 정의할 수 있다.

성질

일차 독립 집합의 모든 부분 집합은 일차 독립 집합이다. 일차 종속 집합을 포함하는 부분 집합은 일차 종속 집합이다.

예

공집합은 벡터 공간의 일차 독립 집합이다. 체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 한원소 부분 집합 ${\displaystyle \{v\}\subseteq V}$가 일차 독립 집합일 필요충분조건은 ${\displaystyle v\neq 0_{V}}$이다.

같이 보기

• 기저 (선형대수학)
• 아핀 독립 집합

참고 문헌

• Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.

외부 링크

• “Linear independence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Linearly independent”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.