줄기 (수학)

층 이론에서, 줄기(영어: stalk, 프랑스어: fibre)는 어떤 층이 어떤 한 점에서 가질 수 있는 값들의 공간이다. 줄기들의 집합은 에탈레 공간(영어: étalé space, 프랑스어: espace étalé)을 이룬다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 값을 갖는 준층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 점 ${\displaystyle x\in X}$에서의 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$는 ${\displaystyle x}$의 모든 열린 근방에 대하여 취한, 다음과 같은 귀납적 극한이다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}\Gamma (U;{\mathcal {F}})\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$

이러한 귀납적 극한이 항상 존재할 필요는 없지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 집합이나 아벨 군이나 가환환의 범주인 경우에는 항상 존재한다. 정의에 따라, 점 x의 임의의 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, 자연스러운 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-사상

${\displaystyle \phi _{U,x}\colon \Gamma (U;{\mathcal {F}})\to {\mathcal {F}}_{x}}$

가 존재한다.

싹

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 구체적 범주라고 하자. 임의의 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma (U;{\mathcal {F}})}$에 대하여, ${\displaystyle \phi _{U,x}(s)\in {\mathcal {F}}_{x}}$를 ${\displaystyle s}$의 ${\displaystyle x}$에서의 싹(영어: germ) ${\displaystyle s}$라고 한다. 이는 수학의 다른 분야에서 쓰이는 싹의 개념을 일반화한 것이다. ${\displaystyle s_{x}}$는 ${\displaystyle s}$의 ${\displaystyle x}$에서의 국소적 정보를 담는다.

에탈레 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 그 위의 집합 값을 갖는 준층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 에탈레 공간은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간 ${\displaystyle E_{\mathcal {F}}}$이다.

• 국소 위상동형사상(local homeomorphism) ${\displaystyle \pi _{\mathcal {F}}\colon E_{\mathcal {F}}\to X}$이 있다.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 층화는 ${\displaystyle \pi _{\mathcal {F}}}$의 단면들의 층과 동형이다. 여기서 "단면"이란 ${\displaystyle \pi _{\mathcal {F}}\circ s=\operatorname {id} _{X}}$인 연속 함수 ${\displaystyle s\colon X\to E_{\mathcal {F}}}$이다.

여기서, "에탈레"(프랑스어: étalé)는 에탈 코호몰로지·에탈 사상·에탈 기본군 등의 "에탈"(프랑스어: étale)과는 관계없는 개념이다.

구체적으로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 에탈레 공간은 집합으로서 모든 줄기들의 분리합집합이다.

${\displaystyle E_{\mathcal {F}}=\bigsqcup _{x\in X}{\mathcal {F}}_{x}}$

이 위에 다음과 같은 위상을 준다. 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$ 및 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma (U;{\mathcal {F}})}$에 대하여,

${\displaystyle U_{s}=\{s_{x}\in E\colon x\in U\}\subseteq E_{\mathcal {F}}}$

를 정의하자. 이는 위상 공간의 기저의 공리들을 만족시키며, 따라서, 이를 기저로 하는 위상을 줄 수 있다.

성질

에탈레 공간에서, 각 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\subseteq E_{\mathcal {F}}}$는 이산 공간을 이룬다.

다양체 위의 실수값 연속 함수의 층이나, 매끄러운 다양체 위의 실수값 매끄러운 함수의 에탈레 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.

예

일부 층들에 대해서는 싹은 잘 작동하지만, 일부 경우는 그렇지 않다. 예를 들어, 해석 함수의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 복소해석학의 테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 반면, 매끄러운 함수에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못한다. 예를 들어, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 지지집합 밖에서의 싹만으로는 전혀 알 수 없다.

함수의 싹

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 집합 ${\displaystyle Y}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle X\to Y}$ 함수들의 층(또는 그 임의의 부분층, 예를 들어 ${\displaystyle Y}$에 위상울 주었을 때, 연속 함수의 층)을 생각하자. 이 경우, 싹은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 함수의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 임의의 열린집합 ${\displaystyle U,V\ni x}$ 및 두 함수

${\displaystyle f\colon U\to Y}$

${\displaystyle g\colon V\to Y}$

에 대하여,

${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$

인 ${\displaystyle x}$의 근방 ${\displaystyle W\ni x}$, ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$가 존재한다면

${\displaystyle f\sim _{x}g}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle x}$에서의 싹은 동치관계 ${\displaystyle \sim _{x}}$에 대한 동치류이다.

아핀 스킴 위의 준연접층

아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 준연접층은 ${\displaystyle R}$-가군에 대응한다. ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$에 대응하는 준연접층의, 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$에서의 줄기는 국소화 ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$이다.

역사

싹의 개념은 고전적이다. 줄기의 개념은 1950년 카르탕 세미나에서 등장하였다.

"에탈레 공간"이라는 용어는 로제 고드망이 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 《대수적 위상수학과 층론》(프랑스어: Topologie álgebrique et théorie des faisceaux)에서 처음으로 사용하였다. 고드망은 층을 에탈레 공간의 단면으로 정의하였으며, 준층을 사용하는 층의 현대적인 정의는 비교적 최근에 등장하였다.

외부 링크

• Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001). “Germ”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Etale space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Stalk”. 《nLab》 (영어).
• “Germ”. 《nLab》 (영어).
• “Etale space”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

• 상수층