등급 대수

환론에서 등급 대수(等級代數, 영어: graded algebra)는 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 결합 대수이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• 모노이드 ${\displaystyle (N,\cdot )}$
• 각 ${\displaystyle n\in N}$에 대하여, ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle A_{n}}$. 편의상 ${\displaystyle \textstyle A=\bigoplus _{n\in N}A_{n}}$로 표기하자.
• ${\displaystyle A}$ 위의 ${\displaystyle K}$-결합 대수 구조

이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle A_{m}A_{n}\subseteq A_{mn}\qquad (\forall m,n\in N)}$
• ${\displaystyle \phi (K)\subseteq A_{1}}$

이 경우, ${\displaystyle A}$를 ${\displaystyle N}$등급을 가진 등급 대수라고 한다. ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$ (정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 등급 대수는 등급환(等級環, 영어: graded ring)이라고 한다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 ${\displaystyle N=\mathbb {N} }$ (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(超代數, 영어: superalgebra)라고 부르기도 한다.

동급 원소

등급 대수 ${\displaystyle A}$의 원소 ${\displaystyle a\in A}$는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

• 만약 ${\displaystyle a\in A_{n}}$인 ${\displaystyle n\in N}$이 존재할 경우 ${\displaystyle a}$를 동급 원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 한다. 만약 ${\displaystyle a\neq 0}$이라면 이는 유일하며, ${\displaystyle n}$을 ${\displaystyle a}$의 등급이라고 한다. 이는 보통 ${\displaystyle \deg A}$로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)
• 만약 ${\displaystyle a\in A_{n}}$인 ${\displaystyle n}$이 존재하지 않을 경우 ${\displaystyle a}$를 비동급 원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

준동형

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의, 모노이드 ${\displaystyle N}$ 등급의 두 등급 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ 사이의 등급 대수 준동형(영어: graded-algebra homomorphism) ${\displaystyle f\colon A\to B}$은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

${\displaystyle \deg f(a)=\deg a\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}}$

즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle N}$등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

${\displaystyle \operatorname {grAlg} _{K,N}}$

를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$ 및 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle M}$등급 대수 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle N}$등급 대수 ${\displaystyle B}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \phi }$ 위의 등급 대수 준동형 ${\displaystyle f\colon A\to B}$은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

${\displaystyle \deg f(a)=\phi (\deg a)\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}}$

성질

가환 모노이드 ${\displaystyle (N,+,0)}$가 추가로 가환 반환의 구조 ${\displaystyle (N,+,\cdot ,0,1)}$를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

${\displaystyle \sigma \colon (N,+,0)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)}$

만약 ${\displaystyle (N,+)}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle K}$가 등급 가환 대수(영어: graded-commutative algebra)라고 한다.

${\displaystyle ab=\sigma (mn)ba\qquad \forall a\in A_{m},\;b\in A_{n}}$

물론, 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, ${\displaystyle +1=-1}$이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

연산

직합

가환환 ${\displaystyle K}$와 모노이드 ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle N'}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle N}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle N'}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A'}$의 직합(영어: direct sum) ${\displaystyle A\oplus A'}$은 다음과 같은 ${\displaystyle N\times N'}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수이다.

• ${\displaystyle K}$-가군으로서 ${\displaystyle A\oplus A'}$은 가군의 직합이다.
• ${\displaystyle (A\oplus A')_{n,n'}=A_{n}\oplus A'_{n'}}$
• ${\displaystyle (a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A')}$

텐서곱

가환환 ${\displaystyle K}$와 가환 모노이드 ${\displaystyle (N,+)}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle N}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$의 텐서곱(영어: tensor product) ${\displaystyle A\otimes _{K}A'}$은 다음과 같은 ${\displaystyle N}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수이다.

• ${\displaystyle K}$-텐서곱으로서 ${\displaystyle A\otimes _{K}A'}$은 가군의 텐서곱이다.
• ${\displaystyle (A\otimes _{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}}$
• ${\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A'}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle N}$이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 ${\displaystyle (N,+)}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$에 대하여

${\displaystyle A_{m}A_{n}\subseteq A_{m+n}}$

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

${\displaystyle \sigma \colon (N,+)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 ${\displaystyle (N,+)}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$에 대하여 등급 텐서곱(영어: graded tensor product) ${\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'}$은 다음과 같은 ${\displaystyle N}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수이다.

• ${\displaystyle K}$-텐서곱으로서 ${\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'}$은 가군의 텐서곱 ${\displaystyle A\otimes _{K}A'}$이다.
• ${\displaystyle (A{\hat {\otimes }}_{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}}$
• ${\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=\sigma (m,n)(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a\in A,\;b\in A_{m},\;a'\in A'_{n},\;b'\in A'}$

이는 흔히 ${\displaystyle N=\mathbb {Z} }$ 또는 ${\displaystyle N=\mathbb {N} }$ 또는 ${\displaystyle N=\mathbb {Z} /2}$이며,

${\displaystyle \sigma \colon n\mapsto (-1)^{n}}$

인 경우 사용된다.

두 등급 가환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 ${\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'}$ 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 ${\displaystyle A\otimes _{K}A'}$는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

등급의 망각

모노이드 ${\displaystyle N}$ 등급을 갖는, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 등급 대수 ${\displaystyle (A_{n})_{n\in N}}$가 주어졌으며, 모노이드 준동형

${\displaystyle q\colon N\to {\tilde {N}}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (A_{n})_{n\in N}}$에서 등급 구조를 망각하여

${\displaystyle A_{\tilde {n}}=\bigoplus _{n\in q^{-1}({\tilde {n}})}A_{n}}$

를 정의할 수 있으며,

${\displaystyle \bigoplus _{{\tilde {n}}\in {\tilde {N}}}A_{\tilde {n}}}$

은 ${\displaystyle {\tilde {N}}}$-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

${\displaystyle \operatorname {grAlg} _{K,N}\to \operatorname {grAlg} _{K,{\tilde {N}}}}$

를 이룬다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수 ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$는 ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Z} /2}$를 통해 등급을 망각하여 초대수 ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {Z} /2}}$로 만들 수 있다.

무관 아이디얼

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의, 자연수 등급의 등급 대수 ${\displaystyle A=(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle A_{+}=\bigoplus _{n>0}A_{n}}$

은 ${\displaystyle A}$의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 무관 아이디얼(無關ideal, 영어: irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

${\displaystyle A/A_{+}\cong A_{0}}$

${\displaystyle a+A_{+}\mapsto a\qquad \forall a\in A_{0}}$

예

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 코호몰로지 환 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}$은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 미분 형식의 공간 ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-등급 대수이다.
• 모노이드 ${\displaystyle M}$에 대한 모노이드 환은 ${\displaystyle M}$ 등급을 가진 등급환이다.
• 클리퍼드 대수는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$등급을 가진 등급 대수이다.
• 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$ 위의 텐서 대수 ${\displaystyle \operatorname {T} (M;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M^{\otimes _{K}n}}$는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$-등급 ${\displaystyle K}$-대수이며, 이 경우 ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}(M;K)=M^{\otimes _{K}n}}$이다.
• 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$ 위의 외대수 ${\displaystyle \Lambda (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(m^{2})_{m\in M}}$는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$-등급 ${\displaystyle K}$-대수이다.
• 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$ 위의 대칭 대수 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(mn-nm)_{m,n\in M}}$는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$-등급 ${\displaystyle K}$-대수이다. 특히, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 다항식환 ${\displaystyle K[x_{1},...,x_{n}]}$은 ${\displaystyle \mathbb {N} }$-등급 ${\displaystyle K}$-대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 ${\displaystyle A_{n}}$ 들은 (0을 포함한) ${\displaystyle n}$차 동차다항식들의 집합과 같다.

같이 보기

• 미분 등급 대수
• 텐서 대수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Graded algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Graded ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Graded algebra”. 《nLab》 (영어).
• Yuan, Qiaochu (2009년 7월 10일). “Some examples of graded algebras”. 《Annoying Precision》 (영어).