반환 (수학)

추상대수학에서 반환(半環, 영어: semiring, rig)은 환과 유사하지만 덧셈의 역원이 존재하지 않는 대수 구조이다. 즉, 덧셈에 대하여 가환 모노이드를, 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 분배 법칙이 성립하는 대수 구조이다.

정의

반환(영어: semiring) ${\displaystyle (R,0,+,1,\cdot )}$은 다음과 같은 연산이 갖추어진 대수 구조이다.

• ${\displaystyle (R,0,+)}$는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • (덧셈의 결합 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s,t\in R}$에 대하여 ${\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)}$이다.
  • (덧셈의 교환 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여 ${\displaystyle r+s=s+r}$이다.
  • (덧셈의 항등원) 모든 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle r+0=r}$이다.
• ${\displaystyle (R,1,\cdot )}$는 모노이드를 이룬다.
  • (곱셈의 결합 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s,t\in R}$에 대하여 ${\displaystyle (rs)t=r(st)}$이다.
  • (곱셈의 항등원) 모든 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle r1=1r=r}$이다.
• (분배 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s,t\in R}$에 대하여, ${\displaystyle r(s+t)=rs+rt}$이며 ${\displaystyle (s+t)r=sr+tr}$이다.
• (0과의 곱) 모든 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle 0r=r0=0}$이다.

유사 반환(영어: pseudo-semiring, hemiring) ${\displaystyle (R,0,+,\cdot )}$은 다음과 같은 연산이 갖추어진 대수 구조이다.

• ${\displaystyle (R,0,+,-)}$는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • (덧셈의 결합 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s,t\in R}$에 대하여 ${\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)}$이다.
  • (덧셈의 교환 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여 ${\displaystyle r+s=s+r}$이다.
  • (덧셈의 항등원) 모든 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle r+0=r}$이다.
• ${\displaystyle (R,\cdot )}$는 반군을 이룬다.
  • (곱셈의 결합 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s,t\in R}$에 대하여 ${\displaystyle (rs)t=r(st)}$이다.
• (분배 법칙) 모든 원소 ${\displaystyle r,s,t\in R}$에 대하여, ${\displaystyle r(s+t)=rs+rt}$이며 ${\displaystyle (s+t)r=sr+tr}$이다.
• (0과의 곱) 모든 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle 0r=r0=0}$이다.

환 또는 유사환의 정의에서, ${\displaystyle 0r=r0=0}$이라는 성질은 환 (또는 유사환)의 다른 공리들로부터 유도되므로 따로 명시하지 않아도 된다. 그러나 (유사) 반환의 경우 이 조건을 따로 명시해야만 한다.

예

모든 환은 반환을 이루며, 모든 유사환은 유사 반환을 이룬다.

자연수

자연수의 집합

${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$

은 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 반환을 이룬다. 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여 ${\displaystyle \{0\}\cup \{n,n+1,n+2,\dots \}}$는 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 유사 반환을 이룬다.

아이디얼

환 ${\displaystyle R}$ 속의 양쪽 아이디얼들의 집합은 아이디얼의 덧셈과 곱셈에 대하여 반환을 이룬다. 이 경우 덧셈 항등원은 영 아이디얼 ${\displaystyle \{0\}}$이며, 곱셈 항등원은 전체 아이디얼 ${\displaystyle R}$이다.

분배 격자

모든 유계 분배 격자 (예를 들어, 불 대수)는 만남과 이음을 통하여 반환을 이룬다. 이 경우, 덧셈을 만남으로, 곱셈을 이음으로 삼거나, 또는 곱셈을 만남으로, 덧셈을 이음으로 삼아 두 개의 반환 구조를 줄 수 있다. 덧셈이 만남일 경우 덧셈 항등원은 최소 원소 ${\displaystyle \bot }$, 곱셈 항등원은 최대 원소 ${\displaystyle \top }$이며, 덧셈이 이음일 경우 덧셈 항등원은 ${\displaystyle \top }$, 곱셈 항등원은 ${\displaystyle \bot }$이다.

참고 문헌

• Golan, Jonathan S. (1999). “Semirings and their applications” (영어). Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/978-94-015-9333-5. ISBN 978-0-7923-5786-5. MR 1746739.

외부 링크

• “Semi-ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semiring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ringoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Rig”. 《nLab》 (영어).
• “Idempotent semiring”. 《nLab》 (영어).
• “Tropical semiring”. 《nLab》 (영어).
• “Near-ring”. 《nLab》 (영어).
• “Definition: additive semiring”.
• “Definition: semiring”.
• “Definition: ringoid”. 2014년 4월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 21일에 확인함.