キャヴェンディッシュの実験 （キャヴェンディッシュのじっけん, 英 : Cavendish experiment ）とは、イギリス の科学者 であるヘンリー・キャヴェンディッシュ によって1797年 から1798年 にかけて行われた、実験室内の質量 間に働く万有引力 の測定[1] 物理定数 である万有引力定数 と地球の質量の計測を目的としたものではなかった[2] [3] [4]
この実験方法の原理[5] ジョン・ミッチェル によって考案[6] ねじり天秤 装置 (en ) は彼が作成したものである。しかし、1783年にミッチェルがその仕事を成し遂げることなく他界した後、ねじり天秤装置はフランシス・ウォラストン (Francis John Hyde Wollaston) を経てキャヴェンディッシュの手に渡った。キャヴェンディッシュはその装置をミッチェルの当初計画にできるだけ忠実に再組立てした。キャヴェンディッシュはその装置による一連の実験結果を1798年にロンドン王立協会 発行の学術論文誌フィロソフィカル・トランザクションズ で報告した[7]
キャヴェンディッシュによって組み立てられた装置はワイヤーで吊り下げられた 6フィート (1.83 m) の木製の天秤棒でできたねじり天秤 であり、
直径 2-インチ (50.80 mm) で質量 1.61-ポンド (0.730 kg) の鉛 でできた球 (以下、小鉛球) が天秤棒の両端に取り付けられている。
その小鉛球の近くに、二つの直径 12-インチ (304.80 mm) で質量 348-ポンド (157.850 kg) の鉛球 (以下、大鉛球) が独立した吊り下げ機構によって約 9-インチ (228.60 mm) 隔てられて設置されている[8]
囲いの小屋を含むキャヴェンディッシュのねじり天秤装置の縦断面。大鉛球がフレームから吊り下げられ、プーリーで小鉛球の近くまで回転できるようになっている。キャヴェンディッシュの論文の Figure 1 より。 ねじり天秤棒 (m ), 大鉛球 (W ), 小鉛球 (x ), 隔離箱 (ABCDE ) の詳細. 二つの大鉛球は水平木製天秤棒の両端に設置されている。大鉛球と小鉛球の相互作用により天秤棒は回転し、天秤棒を支持しているワイヤーがねじれる。ワイヤーのねじれ力と大小の鉛球の間に働く複合引力が釣り合う所で天秤棒の回転は停止する。天秤棒の変位角を測定し、その角度におけるワイヤーのねじり力 (トルク ) が分かれば、二組の質量対に働く力を決定することができる。小鉛球にかかる地球の引力は、その質量を量ることによって直接に計測できるので、その二つの力の比からニュートンの万有引力の法則 を用いて地球の密度を計算することが可能となる。
この実験では地球の密度が水の密度の 5.448 ± 0.033 倍 (すなわち比重) であることが見いだされた。1821年、F. Baily により、キャヴェンディッシュの論文に記されている 5.48 ± 0.038 という値は単純な計算ミスによる誤りであることが確認・訂正されている[9]
ワイヤーのねじりバネ としてのばね定数 、すなわちねじれによる変位角が与えられたときのワイヤーの持つトルクを得るために、天秤棒が時計回りあるい反時計回りでゆっくり回転する際のねじりバネ の共振 周期 が計測された。その周期は約 7 分であった。ねじりバネ定数はこの周期と天秤の質量、寸法から計算できる。実際には天秤棒は静止することはないので、天秤棒の変位角をそれが振動している間に計測する必要があった[10]
キャヴェンディッシュの実験装置は時間に対して非常に敏感であった[9] −7 [N] であり[11] [12] [13] 2フィート (0.61 m) 、高さ 10フィート (3.05 m) 、幅 10フィート (3.05 m) の木箱に入れ、彼の自宅敷地に外部遮断した小屋内に設置した。ねじり天秤の水平天秤棒の動きを観測するために、小屋の壁に開けられた二つの穴を通した望遠鏡を使用した。天秤棒の動きはおよそ 0.16インチ (4.06 mm) であった[14] バーニヤ 目盛を用いることによってこの微小な変位を1インチの百分の一よりも精度よく計測することができた[15]
キャヴェンディッシュの実験は1838年のライヒ (Reich)、1843年のベイリー (Baily)、1878年のコルニュ とベイル (Cornu & Baille) らなど、多くの追実験が行われた。しかし1895年のチャールズ・バーノン・ボーイズ による追実験まで、キャヴェンディッシュによる実験の測定精度は97年間超えられることはなかった。その後、ミッチェルのねじり天秤の原理は万有引力定数 の測定においては主要な技術となり、今日のほとんどの測定で原理的に同じ装置が使用されている[16]
キャヴェンディッシュの目的が万有引力定数 G の決定であったと書かれている書籍[17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] weighing the world : 世界 (地球) の計量」と呼んだ。キャヴェンディッシュが地球の密度の計算のために用いた方法の本質は、既知の質量を持つ大鉛球により小鉛球に働く力を計測し、地球により小鉛球に働く力と比較することにある。それにより G を直接的に求める必要なしに大鉛球の N 倍の質量を持つものとして地球の質量が計算できる[23] G を計算した最初の文献のひとつは1873年すなわちキャヴェンディッシュの実験の75年後であった[26]
キャヴェンディッシュの時代には、科学者の間では G は今日のような重要性が認識されておらず、それは単にニュートンの万有引力の法則 における比例定数に過ぎなかった[27] 天文学 で強く求められていた定数であり、地球の密度が既知となれば、その値から月、太陽、さらに他の惑星の密度が求められるのである[28] ロンドン王立協会 によるシェハリオンの実験 (en ) のような地球の密度の測定の試みは存在した。
更なる複雑さの要因は、19世紀中頃にかけて、科学者たちが力 の計測のための固有の単位を使用していなかったことである[23] G の対極として、地球の質量に G を無意味に結びつけた。キャヴェンディッシュは G の値を公表はしなかったが、その実験の結果は G の決定に直接の寄与をもたらすこととなる。1800年代終盤、G を自然界の物理定数 のひとつとして認識し始めた科学者たちは、キャヴェンディッシュによる高精度な測定値から次式によって G を計算したのである[29]
G
=
g
R
earth
2
M
earth
=
3
g
4
π
R
earth
ρ
earth
{\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,}
キャヴェンディッシュによる地球の密度の値 5.448 g cm−3 を国際単位系 に変換して G を求めると、
G
=
6.74
×
10
−
11
m
3
k
g
−
1
s
−
2
{\displaystyle G=6.74\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}~kg^{-1}~s^{-2}} }
が得られ、これは現代において物理定数 として採用されている値 (6.67259 × 10−11 m3 kg−1 s−1 ) に対して誤差約1%である。
記号の定義については本項の図と末尾の表を参照。
以下に述べる方法はキャヴェンディッシュが実際に使用した計算方法ではないが、現代の物理学者たちが彼の実験結果をどのように利用しているのかを示すものである[30] [31] [32] フックの法則 により、ねじりワイヤーのトルク は天秤の変位角
θ
{\displaystyle \theta \,}
ねじり係数 を
κ
{\displaystyle \kappa \,}
κ
θ
{\displaystyle \kappa \theta \,}
L /2 の両位置にかかる力をそれぞれ F とすると、トルクは LF である。トルクに関するそれら二つの式が等しいことから次式を得る。
κ
θ
=
L
F
{\displaystyle \kappa \theta \ =LF}
ニュートン の万有引力の法則 により大鉛球と小鉛球の間に生じる力 F は次式で表される。
ねじり天秤の概念図
F
=
G
m
M
r
2
{\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}}
F を上記第一の式に代入すると、次式が得られる。
κ
θ
=
L
G
m
M
r
2
(
1
)
{\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)}
ワイヤーのねじり係数 (
κ
{\displaystyle \kappa }
T を測定した。
T
=
2
π
I
/
κ
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I/\kappa }}}
ねじり天秤自体の質量は無視できると仮定すると、天秤の慣性モーメント は小鉛球の質量のみから計算することにより、
I
=
m
(
L
/
2
)
2
+
m
(
L
/
2
)
2
=
2
m
(
L
/
2
)
2
=
m
L
2
/
2
{\displaystyle I=m(L/2)^{2}+m(L/2)^{2}=2m(L/2)^{2}=mL^{2}/2}
となり、さらに次式を得る。
T
=
2
π
m
L
2
2
κ
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}}
この式を
κ
{\displaystyle \kappa }
G について整理すると次式を得る。
G
=
2
π
2
L
r
2
M
T
2
θ
{\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}}{MT^{2}}}\theta }
決定された G と、地表における物体が地球から受ける力を用いて、地球の質量
M
earth
{\displaystyle M_{\text{earth}}}
ρ
earth
{\displaystyle \rho _{\text{earth}}}
m
g
=
G
m
M
earth
R
earth
2
M
earth
=
g
R
earth
2
G
ρ
earth
=
M
earth
4
π
R
earth
3
/
3
=
3
g
4
π
R
earth
G
{\displaystyle {\begin{aligned}mg&={\frac {GmM_{\text{earth}}}{R_{\text{earth}}^{2}}}\\M_{\text{earth}}&={\frac {gR_{\text{earth}}^{2}}{G}}\\\rho _{\text{earth}}&={\frac {M_{\text{earth}}}{4\pi R_{\text{earth}}^{3}/3}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}G}}\end{aligned}}}
記号の定義
θ
{\displaystyle \theta \,}
radian
{\displaystyle {\mbox{radian}}\,}
ねじり天秤棒の自然静止位置からの変位角
F
{\displaystyle F\,}
N
{\displaystyle {\mbox{N}}\,}
質量 M と m の間に働く引力
G
{\displaystyle G\,}
m
3
kg
−
1
s
−
2
{\displaystyle {\mbox{m}}^{3}{\mbox{kg}}^{-1}{\mbox{s}}^{-2}\,}
万有引力定数
m
{\displaystyle m\,}
kg
{\displaystyle {\mbox{kg}}\,}
小鉛球の質量
M
{\displaystyle M\,}
kg
{\displaystyle {\mbox{kg}}\,}
大鉛球の質量
r
{\displaystyle r\,}
m
{\displaystyle {\mbox{m}}\,}
釣り合い時の大鉛球と小鉛球の中心間距離
L
{\displaystyle L\,}
m
{\displaystyle {\mbox{m}}\,}
ねじり天秤の小鉛球中心間の距離
κ
{\displaystyle \kappa \,}
N
m
radian
−
1
{\displaystyle {\mbox{N}}\,{\mbox{m}}\,{\mbox{radian}}^{-1}\,}
吊り下げワイヤーのねじり係数
I
{\displaystyle I\,}
kg
m
2
{\displaystyle {\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{2}\,}
ねじり天秤の慣性モーメント
T
{\displaystyle T\,}
s
{\displaystyle {\mbox{s}}\,}
ねじり天秤の振動周期
g
{\displaystyle g\,}
m
s
−
2
{\displaystyle {\mbox{m}}\,{\mbox{s}}^{-2}\,}
地表での重力加速度
M
e
a
r
t
h
{\displaystyle M_{earth}\,}
kg
{\displaystyle {\mbox{kg}}\,}
地球の質量
R
e
a
r
t
h
{\displaystyle R_{earth}\,}
m
{\displaystyle {\mbox{m}}\,}
地球の半径
ρ
e
a
r
t
h
{\displaystyle \rho _{earth}\,}
kg
m
−
3
{\displaystyle {\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{-3}\,}
地球の密度
Encyclopaedia Britannica 1910 p.385「キャヴェンディッシュのような実験の目的は地球の質量や...その平均密度あるいは万有引力定数 G を決定するものとみなされるだろう。キャヴェンディッシュの実験は今日では G の測定として記述されている (Clotfelter 1987 p.210)Cavendish, H. 'Experiments to determine the Density of the Earth', Philosophical Transactions of the Royal Society of London , (part II) 88 p.469-526 (21 June 1798), reprinted in Cavendish 1798 Cavendish 1798 , p. 99, Result table, (scale graduations = 1/20 in ? 1.3 mm) 「ねじれ天秤棒の両端の大鉛球による変位の比較のため、ほとんどの試行における変位量はこの2倍として記されている。」Feynman, Richard P. (1963), Lectures on Physics, Vol.1 , Addison-Wesley, pp. 6−7, ISBN 0201021161 「キャヴェンディッシュは地球を計量したと主張しているが、彼が計測したものは万有引力定数 G であり...」Feynman, Richard P. (1967), The Character of Physical Law , MIT Press, pp. 28, ISBN 0262560038 「キャヴェンディッシュは力、二つの質量、距離を測定することができ、それらにより万有引力定数 G を決定した。」Cornu, A. and Baille, J. B. (1873), Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth, C. R. Acad. Sci. , Paris Vol. 76, 954-958.
Boys 1894 , p.330 この講義ではロンドン王立協会以前にボーイズは G とその議論を紹介している。Clotfelter 1987 p.212 ではキャヴェンディッシュが実際に用いた計算方法を説明している。
Boys, C. Vernon (1894). “On the Newtonian constant of gravitation” . Nature 50 (1292): 330−4. doi :10.1038/050571a0 . https://books.google.co.jp/books?id=ZrloHemOmUEC&pg=PA353&redir_esc=y&hl=ja . Cavendish, Henry (1798), “Experiments to Determine the Density of the Earth” , in MacKenzie, A. S., Scientific Memoirs Vol.9: The Laws of Gravitation , American Book Co., 1900, pp. 59−105, https://books.google.co.jp/books?id=O58mAAAAMAAJ&pg=PA59&redir_esc=y&hl=ja キャヴェンディッシュの1798年の論文のオンライン版、および重力関連定数の初期の測定。Clotfelter, B. E. (1987). “The Cavendish experiment as Cavendish knew it”. American Journal of Physics 55 : 210 – 213. doi :10.1119/1.15214 . キャヴェンディッシュがGを決定していないことの証明。Falconer, Isobel (1999). “Henry Cavendish: the man and the measurement”. Measurement Science and Technology 10 : 470 – 477. doi :10.1088/0957-0233/10/6/310 . "Gravitation Constant and Mean Density of the Earth" . Encyclopaedia Britannica, 11th Ed . Vol. 12. The Encyclopaedia Britannica Co. 1910. p. 385-389.Hodges, Laurent (1999年). “The Michell-Cavendish Experiment, faculty website, Iowa State Univ. ”. 2007年8月28日 閲覧。 Discusses Michell's contributions, and whether Cavendish determined G.Lally, Sean P. (1999). “Henry Cavendish and the Density of the Earth” . The Physics Teacher 37 : 34 – 37. doi :10.1119/1.880145 . https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1999PhTea..37...34L/abstract . McCormmach, Russell; Jungnickel, Christa (1996). Cavendish Philadelphia, Pennsylvania: en:American Philosophical Society . ISBN 0-87169-220-1 . https://books.google.co.jp/books?id=EUoLAAAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja Poynting, John H. (1894). The Mean Density of the Earth: An essay to which the Adams prize was adjudged in 1893 London: C. Griffin & Co.. https://books.google.co.jp/books?id=dg0RAAAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja 1740年以降の重力計測のレビュー。 この記事には アメリカ合衆国 内で 著作権が消滅した 次の百科事典本文を含む: Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Cavendish, Henry ". Encyclopædia Britannica 5 (11th ed.). Cambridge University Press. p. 580-581. この記事には アメリカ合衆国 内で 著作権が消滅した 次の百科事典本文を含む: Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Gravitation ". Encyclopædia Britannica 12 (11th ed.). Cambridge University Press. p. 384-389.
Sideways Gravity in the Basement, The Citizen Scientist , July 1, 2005 , retrieved Aug. 9, 2007. 風と静電気による誤差を除去するための注意事項と結果の計算を示すキャヴェンディッシュの実験設備。Measuring Big G, Physics Central , retrieved Aug. 9, 2007. 重力定数を測定するためにワシントン大学でかつて実施されたキャヴェンディッシュの方法の追実験。The Controversy over Newton's Gravitational Constant, Eot-Wash Group, Univ. of Washington , retrieved Aug. 9, 2007. 現代の G の測定方法の議論。Model of Cavendish's torsion balance , retrieved Aug. 28, 2007, ロンドン科学博物館.Weighing the Earth -背景と実験。 
