Forma bilineare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Disambiguazione – "Forma bilineare simmetrica" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Prodotto scalare.

Definizione

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ spazi vettoriali su ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle V\times W}$ il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo ${\displaystyle K}$ è una mappa

${\displaystyle \phi :V\times W\to K}$

che associa ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ e ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$ lo scalare ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in K}$ ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:^[1]

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2})\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W\quad \forall \ \mathbf {v} \in V}$

${\displaystyle \phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W\quad \forall \ a\in K}$

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ coincidono, la forma si dice bilineare su ${\displaystyle V}$ (o su ${\displaystyle W}$).^[2]

Rappresentazione in coordinate

Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione n finita, ogni forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle V}$ può essere rappresentata come una matrice quadrata di ordine n. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ per ${\displaystyle V}$, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice ${\displaystyle B}$ è definita per elementi da:

${\displaystyle b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})}$

L'azione della forma bilineare su due vettori ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ di ${\displaystyle V}$ si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

${\displaystyle \phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}}$

dove ${\displaystyle u_{i}}$ e ${\displaystyle w_{j}}$ sono le coordinate di ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ rispetto alla base.

Relazione con lo spazio duale

Ogni forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle V}$ definisce una coppia di mappe lineari da ${\displaystyle V}$ nel suo spazio duale ${\displaystyle V^{*}}$. Si definiscano nel modo seguente:

${\displaystyle \phi _{1}:V\to V^{*}\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$

${\displaystyle \phi _{2}:V\to V^{*}\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )}$

In altre parole, ${\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )}$ è l'elemento di ${\displaystyle V^{*}}$ che manda ${\displaystyle \mathbf {w} }$ in ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$.

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

${\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot )}$

${\displaystyle \phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} )}$

Ogni mappa lineare ${\displaystyle T:V\to V^{*}}$ definisce analogamente una funzione bilineare:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )\ }$

Forme simmetriche e antisimmetriche

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi :V\times V\to K}$ è detta simmetrica se:^[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\ }$

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ in ${\displaystyle V}$. È invece detta antisimmetrica o alternante se:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\ }$.

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ è simmetrica se e solo se la matrice associata ${\displaystyle B}$ (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe ${\displaystyle \phi _{1}}$ e ${\displaystyle \phi _{2}}$ definite sopra coincidono.

Se ${\displaystyle K}$ non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0}$

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalare

Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.^[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$ diverso da zero, e ${\displaystyle \phi (\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0}$.

Forma degenere

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ definita su uno spazio ${\displaystyle V}$ di dimensione finita è degenere se la matrice ${\displaystyle B}$ che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

• La forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ è degenere.
• Esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ non nullo tale che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {w} }$.
• Esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {w} }$ non nullo tale che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Esempi

• Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
• Sia ${\displaystyle C[0,1]}$ lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$, a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su ${\displaystyle C[0,1]}$ è data da:

${\displaystyle \phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx}$