Piano (geometria)

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale, sono intuitivamente comprensibili e esperienzialmente acquisiti. Viene accettata un'idea universalmente e unica di essi mediante il paragone con oggetti concreti usati come esempio, che non risolvono pienamente il concetto per la loro sussistenza materiale. Lo stesso accade al punto e alla retta.

Rappresentazione di due piani che si intersecano

Il piano si può pensare idealmente come un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto. A differenza del foglio di carta, però, il piano non ha spessore ed ha dimensioni infinite, quindi materialmente irrealizzabile.

In definitiva, esso:

• Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto ${\displaystyle P}$.
• Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è del tipo:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

con ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} ,}$ e ${\displaystyle a,b,c}$ non tutti nulli.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano ${\displaystyle \pi }$. Un punto ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ appartiene al piano ${\displaystyle \pi }$ solo se il vettore ${\displaystyle P-P_{1}}$ è combinazione lineare dei vettori ${\displaystyle P_{2}-P_{1}}$ e ${\displaystyle P_{3}-P_{1}}$, ossia se

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.}$

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

${\displaystyle a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,}$

dove

${\displaystyle a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.}$

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce ${\displaystyle \;d\;}$ come segue:

${\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),}$

dove ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ e ${\displaystyle P_{3}}$.

Condizione per indicare un piano

Per indicare un piano sono sufficienti:

• Tre punti non allineati appartenenti ad esso (vedi corollari della geometria euclidea).
• Due vettori linearmente indipendenti (cioè non paralleli) applicati nel medesimo punto ${\displaystyle P}$.
• Due rette distinte appartenenti al piano.
• Un vettore normale al piano ed il punto in cui è applicato (cioè un qualsiasi punto del piano). Si noti che non ha importanza il verso e l'intensità del vettore.
• Una retta e un punto appartenente al piano ma non appartenente alla retta.

Posizioni reciproche di due piani

Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e ammette una semplice infinità (${\displaystyle \infty ^{1}}$) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando sia la matrice dei coefficienti che la matrice completa hanno rango 1, le soluzioni sono una doppia infinità (${\displaystyle \infty ^{2}}$) e i piani sono paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 1 e la matrice completa ha rango 2, il sistema è incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Altrimenti, si possono studiare i vettori normali ai due piani. I due piano sono parallele se e solo se essi sono linearmente dipendenti (cioè paralleli), quindi il loro prodotto vettoriale è nullo. Se e solo se i due vettori sono perpendicolari, cioè il loro prodotto scalare è nullo, i due piani sono perpendicolari.

Distanza di un punto da un piano

È possibile calcolare la distanza di un punto ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ da un piano ${\displaystyle \pi }$ utilizzando la seguente formula:

${\displaystyle d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$

In particolare, se ${\displaystyle d(\pi ,P)=0}$, allora il punto ${\displaystyle P}$ appartiene al piano ${\displaystyle \pi }$.

Voci correlate

• Problemi di misura (geometria descrittiva)
• Superficie (matematica)
• Spazio affine
• Fascio di piani
• Piano proiettivo

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Piano, su MathWorld, Wolfram Research.

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