Fascio di piani

Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune (fascio proprio) oppure paralleli fra di loro (fascio improprio).

Equazione del fascio di piani

Un fascio di piani ha equazione analoga a quella di un piano, in cui i coefficienti sono però determinati a meno di un parametro libero ${\displaystyle k}$ di primo grado; ad ogni valore del parametro corrisponde un piano del fascio:

${\displaystyle a(k)x+b(k)y+c(k)z+d(k)=0}$.

Nel caso di un fascio proprio, è sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale del parametro ${\displaystyle k}$ in modo da separare l'equazione del piano come segue:

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})=0}$;

i due piani:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\end{matrix}}}$

sono detti generatori del fascio e individuano la retta appartenente a tutti i piani del fascio. ${\displaystyle \Pi _{1}}$ si ottiene per ${\displaystyle k=0}$, mentre ${\displaystyle \Pi _{2}}$, pur appartenendo al fascio, non è ricavabile per alcun valore reale attribuibile al parametro, ma è soltanto approssimabile tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di ${\displaystyle k}$.

Un fascio improprio è formato da piani paralleli fra di loro, con in comune la stessa normale, pertanto il parametro ${\displaystyle k}$ compare soltanto nel termine noto. In questo caso è possibile prendere come generatori due piani qualunque appartenenti al fascio.

Combinazione lineare di piani

La definizione più generale di fascio di piani utilizza un parametro reale proiettivo: dati i due piani ${\displaystyle \Pi _{1}}$ e ${\displaystyle \Pi _{2}}$ di equazioni:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\end{matrix}}}$,

il fascio di piani da essi generato è definito dalla combinazione lineare delle due equazioni:

${\displaystyle \mu (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1})+\lambda (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})=0}$,

dove ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \lambda }$ sono due parametri reali non entrambi nulli. Se i due piani generatori sono paralleli, si ottiene un fascio improprio, altrimenti si ottiene un fascio proprio i cui piani hanno in comune la retta individuata dai due generatori.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani del fascio. Posto ${\displaystyle \mu \neq 0}$, ogni coppia ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ con lo stesso rapporto ${\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}}$ individua lo stesso piano e può essere identificata dal singolo parametro ${\displaystyle k={\frac {\lambda }{\mu }}\in \mathbb {R} }$. La coppia di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo ${\displaystyle [\lambda ,\mu ]\in \mathbb {P} }$.

Sezione piana di un fascio di piani

L'intersezione di un fascio di piani con un piano non appartenente al fascio è un fascio di rette. Se il fascio di piani è proprio (una retta in comune), anche il fascio di rette che si ottiene è proprio (un punto in comune); se invece il fascio di piani è improprio (piani paralleli), il corrispondente fascio di rette è improprio (rette parallele).

Voci correlate

• Stella di piani
• Fascio di rette
• Coordinate omogenee

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Fascio di piani, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Weisstein, Eric W. "Bundle of Planes." From MathWorld--A Wolfram Web Resource., su mathworld.wolfram.com.

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