Intersezione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'intersezione (simbolo ${\displaystyle \cap }$) di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi contemporaneamente.^[1]

L'intersezione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore AND e, in logica, alla congiunzione.

Definizione

L'intersezione di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ si denota comunemente con ${\displaystyle A\cap B}$. Quindi ${\displaystyle x}$ è un elemento di ${\displaystyle A\cap B}$ se e solo se ${\displaystyle x}$ è un elemento degli insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ contemporaneamente, in simboli:

${\displaystyle (x\in A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B).}$

Più in generale, data una famiglia qualsiasi ${\displaystyle \{A_{\alpha },\alpha \in {\mathcal {I}}\}}$ di insiemi, l'intersezione è definita come quell'insieme ${\displaystyle \cap _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }}$ a cui un elemento ${\displaystyle x}$ appartiene se e solo se ${\displaystyle x}$ appartiene ad ognuno degli ${\displaystyle A_{\alpha }}$.

Proprietà

Diagramma di Eulero-Venn per l'intersezione.

Intersezione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'intersezione è un'operazione commutativa, in simboli:

${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$

Infatti

${\displaystyle x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\Leftrightarrow x\in B\wedge x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.}$

L'intersezione è inoltre un'operazione associativa:

${\displaystyle \left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right).}$

Infatti

${\displaystyle x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\wedge x\in C\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\Leftrightarrow }$

${\displaystyle x\in A\wedge x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).}$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'intersezione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente ${\displaystyle A\cap B\cap C}$.

Esempi

Come esempio elementare si devono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ e ${\displaystyle B=\{2,3,4\}}$. In questo caso si può verificare direttamente per ogni elemento di ${\displaystyle A}$ se è anche elemento di ${\displaystyle B}$ (o viceversa), ottenendo

${\displaystyle A\cap B=\{2,3\}.}$

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: siano ${\displaystyle A}$ l'insieme dei numeri interi divisibili per ${\displaystyle 4}$ e ${\displaystyle B}$ l'insieme dei numeri interi divisibili per ${\displaystyle 6}$. In questo caso, ${\displaystyle A\cap B}$ è l'insieme dei numeri interi divisibili sia per ${\displaystyle 4}$ che per ${\displaystyle 6}$, ovvero tutti i numeri interi divisibili per ${\displaystyle 12}$.

Gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti; infatti un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. L'intersezione di questi due insiemi è quindi l'insieme vuoto.

Storia

Il simbolo ∩, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∪, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.