Matrice simmetrica

In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa.

Definizione

Detta ${\displaystyle A^{T}}$ la matrice trasposta di ${\displaystyle A}$, una matrice ${\displaystyle A}$ è simmetrica quando:

${\displaystyle A^{T}=A}$

o equivalentemente quando i suoi elementi ${\displaystyle a_{ij}}$ soddisfano:

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\qquad \forall i\ \forall j}$

Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (una matrice uguale alla propria trasposta coniugata) sono equivalenti.

Proprietà

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Una matrice ${\displaystyle M}$, definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o più in genere su un anello nel quale l'elemento 2 è invertibile), può sempre essere scritta come somma di una matrice simmetrica ${\displaystyle S}$ e di una matrice antisimmetrica ${\displaystyle A}$. Supponendo infatti di poter scrivere:

${\displaystyle M=S+A}$

per definizione di matrice simmetrica e di matrice antisimmetrica si ha:

${\displaystyle M^{\top }=S-A}$

quindi le matrici ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle A}$ sono univocamente determinate:

${\displaystyle S={\frac {(M+M^{\top })}{2}}\qquad A={\frac {(M-M^{\top })}{2}}}$

Su un anello nel quale la divisione per 2 non è sempre possibile questo ragionamento non si può applicare, ed esistono sempre dei controesempi. Ad esempio, una matrice della forma:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

non si può scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica né sull'anello degli interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, né sul campo finito ${\displaystyle F_{2}}$.

Esempi

I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&5\\3&5&6\end{bmatrix}}}$

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.

Il prodotto ${\displaystyle A^{T}A}$, tra una qualsiasi matrice ${\displaystyle A}$ e la sua trasposta, restituisce sempre una matrice simmetrica.

Esempi di particolari matrici simmetriche sono la matrice di Hankel, la matrice di Gram, la matrice di Hilbert e la matrice di Filbert. Vi sono anche la matrice di Toeplitz, la matrice identità, e la matrice nulla.

Bibliografia

• (EN) F.R. Gantmakher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959–1960) pp. Vol. 1, Chapt. IX; Vol. 2, Chapt. XI
• (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 2.7

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice antisimmetrica
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice trasposta
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Teorema di Schur-Horn
• Quoziente di Rayleigh

Collegamenti esterni

• Matrice simmetrica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Symmetric Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Symmetric matrix, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.

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