Matrice di Gram

Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram (o matrice gramiana) di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari tra i vettori. Questa matrice, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare dei vettori: i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram.

Tutti gli autovalori di una matrice di Gram sono reali e non negativi e la matrice è quindi semidefinita positiva.

Esempi

Ad esempio, se ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ sono vettori in uno spazio prehilbertiano, la matrice di Gram associata è la matrice simmetrica

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{bmatrix}(x_{1}|x_{1})&(x_{1}|x_{2})&\dots &(x_{1}|x_{n})\\(x_{2}|x_{1})&(x_{2}|x_{2})&\dots &(x_{2}|x_{n})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{n}|x_{1})&(x_{n}|x_{2})&\dots &(x_{n}|x_{n})\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle (x_{i}|x_{j})}$ indica il prodotto interno dei due vettori.

Analogamente, dato un insieme di funzioni ${\displaystyle \{l_{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$ la matrice di Gram è una matrice simmetrica reale ${\displaystyle G=[G_{ij}]}$, dove

${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau .}$

Voci correlate

• Matrice gramiana di controllabilità
• Matrice gramiana di osservabilità

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Gram Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.

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