Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:
![{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74241ed8b2690240914e6ebc32fb14bee2dd75cc)
oppure
![{\displaystyle {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d7b690d81f0a730096cd1b033ed1f3feb4d251)
I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.
Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri
e
tali che:
![{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8001f5b3dc1c56c24b302afd29e380427d9d094)
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
![{\displaystyle a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbb5b3f0b3e1c42cf1e5535d50ab39225a4e3c6)
Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f494819aa5a3f0ad4e115a56c62ef692e6642b89)
cioè:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\dfrac {b}{4}}\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecc39383dddff2f45098393bb1306d88d93946e)
Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica
![{\displaystyle t^{2}-at+{\dfrac {b}{4}}=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25506cfaae6df75ac62222c02cda57be8ab4d013)
Risolvendo quest'equazione si ottiene
![{\displaystyle t={\dfrac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453ab5538838f5dba43640f937bfc2b22350f302)
e quindi:
![{\displaystyle x={\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa85349ef873454e9baee7d14e298cc3c9dbf67)
Si ottiene così l'identità cercata:
![{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd69c3fc06d05419e2cffe74a393a6fc7e94176e)
Analogamente si può ottenere:
![{\displaystyle {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48afbaa40cb055ec29014138b3384e417876b40a)
D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che
,
ed
siano positivi).
Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se
è un quadrato perfetto. Ad esempio:
![{\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90db90b2da992ca4eda8f940ec2663080f5825cb)
e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:
![{\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24cf053ca0d5fb6530a1fbdd57ef648ae110df4)
Invece il radicale doppio
non si può semplificare, dal momento che
non è un quadrato perfetto.
Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che
in quanto
, si ha:
![{\displaystyle {\sqrt {5,5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\dfrac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\dfrac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\dfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}={\dfrac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87d475c22ff9fbe582f4a7881fa389024ece699)
Ramanujan scoprì che
,
ad esempio
,
ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.[1]
Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:
![{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {2+3+2{\sqrt {2\cdot 3}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60267b46fbfb6b7826706202b1755c5c9c14bd8a)
La formula può essere usata per dimostrare che
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979ef2bfa959bca3ec762077f897d59322ef4913)
Ecco come si procede:
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{6}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {\pi }{6}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df0bb3b16e001743c6bafdcbdcf9d80e08c6e98)
adesso applicando la formula:
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {4-3}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {2-{\sqrt {4-3}}}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a983542150a786ca57678bbdc8d556e0e49ae6)
equivalente a
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {\sqrt {\frac {4+2{\sqrt {3}}}{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {3}}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {3}}+1}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {3}}+1)^{2}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc1336779bb948fc2bc555f45a8e5ef2c08127b)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt {5}}-2}}={\sqrt[{3}]{\frac {8{\sqrt {5}}-16}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {5{\sqrt {5}}-15+3{\sqrt {5}}-1}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {({\sqrt {5}}-1)^{3}}{8}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986e2488f607b2705a7a329e643506f869479bec)