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operatore della geometria analitica Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.[1]
La trasposta di una matrice è la matrice il cui generico elemento con indici è l'elemento con indici della matrice originaria. In simboli:
con lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici e di dimensioni opportune si abbia che:
l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari ed , vale:
Più in generale, dati N scalari ed N matrici di pari dimensioni, vale:
dove indica una sommatoria.
Valgono le seguenti proprietà:
Se e sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di come la mappa tra gli spazi duali e definita da:
Fissate due basi e di e rispettivamente, si dimostra che se è la matrice associata a rispetto tali basi allora la matrice associata a rispetto alle basi duali di e di è la trasposta di .
Ogni applicazione lineare che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare mediante la relazione:
Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare data dalla mappa trasposta :
si trova che .
Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).
Alternativamente: immaginare un asse diagonale che parte dal primo elemento in alto a sinistra e prosegue verso il basso, verso destra (45°); dopodiché "riflettere a specchio" la matrice usandolo come asse di simmetria.
Alternativamente ancora: fissare una direzione di lettura della matrice (per esempio, per righe o per colonne), e ciò che nella matrice era la prima riga, nella sua trasposta diventa la prima colonna; ciò che era la seconda riga, diventa la seconda colonna, e via così.
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