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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata tale che, detto il trasposto complesso coniugato di , si verifica che la parte reale di è positiva per ogni vettore complesso .
Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice quadrata (di dimensioni ) si dice definita positiva quando:[1]
ossia quando il prodotto , che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo (indicando con il vettore complesso coniugato trasposto del vettore ).
In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:
è definita positiva, ossia per .
Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana sono strettamente positivi.[1]
Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana di dimensione è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):
Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.
La matrice hermitiana si dice definita negativa se:
per tutti gli elementi non nulli in (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli in ).
La matrice è chiamata semidefinita positiva se:
Per tutti gli in (o ) si dice invece semidefinita negativa se:
per tutti gli in (o ). Come sopra, indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui sia un vettore in , questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere al posto di .
Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.
Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia un campo o , uno spazio vettoriale su , e una forma hermitiana se o un prodotto scalare se . La forma è chiamata definita positiva se per ogni in diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a una struttura simile a quella dello spazio euclideo.
La forma quadratica associata ad una matrice reale è la funzione tale che per tutti gli . La matrice è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.
Più in generale, ogni polinomio di secondo grado può essere scritto come , dove è una matrice simmetrica , è un vettore reale e una costante. La funzione è strettamente convessa se è definita positiva.
Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se è simmetrica e è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:
Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di come , con che in particolare è invertibile in quanto lo è . Moltiplicando per e ponendo si ottiene:
che, siccome , può essere riscritta come:
Essendo simmetrica, dal teorema spettrale esiste una matrice tale che e , dove è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati e le colonne di sono una base ortonormale di autovettori di . Per la sostituzione fatta in precedenza si ha quindi che, ponendo , le colonne di soddisfano l'equazione (cioè sono gli autovalori generalizzati) e . Si trova allora che e . Dall'ultima relazione si deduce che:
Moltiplicando per si ottiene:
anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale rispetto al prodotto scalare canonico (infatti non è in generale una matrice ortogonale).
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