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In matematica, una funzione a valori reali definita su un intervallo si dice convessa se il segmento che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sopra del grafico stesso. Per esempio, sono funzioni convesse la funzione quadratica e la funzione esponenziale .
Le funzioni convesse sono di notevole importanza in molte aree della matematica. Per esempio, sono importanti nei problemi di ottimizzazione, e sono tra le più studiate nel calcolo delle variazioni. In analisi e nella teoria della probabilità, sono le funzioni per cui vale la disuguaglianza di Jensen.
Il concetto opposto a quello di funzione convessa è quello di funzione concava, ovvero di una funzione in cui il segmento che congiunge due qualsiasi punti del grafico si trovi al di sotto del grafico stesso. Una funzione è concava se il suo opposto è una funzione convessa.
Una funzione a valori reali, definita su un intervallo (o, più in generale, su un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale reale), si dice convessa nel suo dominio se:
Se l'uguaglianza vale solo nel caso in cui oppure se o , allora si parla di funzione strettamente convessa.
Equivalentemente, si dice convessa se:
Nel caso in cui sia funzione di una sola variabile, detto , è possibile utilizzare la scrittura equivalente:
Si dimostra inoltre che se una funzione è convessa in un intervallo aperto, allora è continua in . La funzione risulta inoltre lipschitziana in ogni intervallo chiuso contenuto in ed i cui estremi non coincidono con gli estremi di .
Una funzione differenziabile si dice strettamente convessa con parametro m > 0 se per ogni coppia di punti del dominio si ha:[2]:
Se ha derivate parziali seconde continue, allora è convessa se e solo se la matrice hessiana è semidefinita positiva in ogni punto , ed è strettamente convessa se è definita positiva in ogni punto .
Una funzione in è convessa:
In alcuni articoli la definizione di funzione convessa si basa su questo criterio, che però non è equivalente alla definizione oggi comunemente usata:
Uno dei principali teoremi riguardanti le funzioni convesse è la disuguaglianza di Jensen. Sia uno spazio di misura, tale che . Se è una funzione integrabile da a valori reali, e è una funzione convessa sull'immagine di , allora:[3]
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