Forma sesquilineare

In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale.^[1] Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.^[2]

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ è una mappa:

${\displaystyle \phi :V\times V\to \mathbb {C} }$

che associa ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} \in V}$ lo scalare ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {C} }$.

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

• ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} +\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {w} )}$
• ${\displaystyle \phi (a\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$
• ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

con ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ,\mathbf {w} \in \mathbb {V} }$.

In altre parole, per ogni ${\displaystyle \mathbf {z} }$ in ${\displaystyle V}$ fissato, le applicazioni

${\displaystyle \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )\qquad \ \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitiana

Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore autoaggiunto.

Data una qualsiasi forma sesquilineare ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle V}$, è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare ${\displaystyle \phi ^{\dagger }}$ che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}}$

e si ha:

${\displaystyle (\phi ^{\dagger })^{\dagger }=\phi }$

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare ${\displaystyle \phi :V\times V\to \mathbb {C} }$ tale che:^[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}}$

La forma hermitiana standard sullo spazio ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ è definita nel modo seguente:

${\displaystyle \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=\sum _{i=1}^{n}{\overline {z}}_{i}w_{i}}$

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

${\displaystyle \phi ={1 \over 2}(\phi +\phi ^{\dagger })+{1 \over 2}(\phi -\phi ^{\dagger })}$

Prodotto interno

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:^[2]

${\displaystyle \phi (0,0)=0\qquad \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {z} )>0}$

se ${\displaystyle \mathbf {z} \neq 0}$. Un prodotto hermitiano è sovente indicato con ${\displaystyle \langle ,\rangle }$, e uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitiana

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare ${\displaystyle \varepsilon :V\times V\to \mathbb {C} }$ tale che:

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=-{\overline {\varepsilon (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}}$

ovvero:

${\displaystyle \varepsilon =-\varepsilon ^{\dagger }}$

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

${\displaystyle \varepsilon =i\cdot \phi }$

dove i è l'unità immaginaria e ${\displaystyle \phi }$ è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associata

Supponiamo che ${\displaystyle V}$ abbia dimensione finita. Sia

${\displaystyle B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$

una base di ${\displaystyle V}$. Ogni forma hermitiana ${\displaystyle \phi }$ è rappresentata da una matrice hermitiana ${\displaystyle H}$ definita come

${\displaystyle H_{i,j}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})\ }$

e vale la relazione

${\displaystyle \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=[\mathbf {w} ]_{B}^{t}H{\overline {[\mathbf {z} ]_{B}}}}$

dove ${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{B}}$ è il vettore in ${\displaystyle C^{n}}$ delle coordinate di ${\displaystyle \mathbf {v} }$ rispetto a ${\displaystyle B}$. D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base ${\displaystyle B}$.

Forma quadratica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

${\displaystyle Q(z)=\phi (z,z)\ }$

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

Note

1. S. Lang, Pag. 197.
2. Hoffman, Kunze, Pag. 271.
3. S. Lang, Pag. 158.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.

Voci correlate

• Forma bilineare
• Forma quadratica
• Matrice antihermitiana
• Matrice hermitiana
• Operatore autoaggiunto
• Prodotto scalare
• Spazio di Hilbert
• Spazio prehilbertiano
• Trasformazione antilineare
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

• forma sesquilineare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Forma sesquilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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