Equazione di Schrödinger non lineare
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In fisica teorica l'equazione (unidimensionale) di Schrödinger non lineare (NLSE) è una variante non lineare dell'equazione di Schrödinger. È una equazione classica di campo le cui applicazioni principali sono nella propagazione della luce in fibre ottiche non lineari, in guide d'onda planari e in condensati di Bose-Einstein confinati (in trappole a forma di sigaro altamente anisotrope), in regime di campo medio.[2]
Inoltre, l'equazione appare nello studio delle onde di gravità superficiali di piccola ampiezza in regime di acqua profonda (ossia profondità molto maggiore della lunghezza d'onda) e viscosità trascurabile, delle onde di Langmuir nei plasmi caldi, della propagazione di fasci d'onda diffratti dal piano nelle regioni di focalizzazione della ionosfera,[3] della propagazione dei solitoni alfa-elica di Davydov (responsabili del trasporto di energia lungo catene molecolari)[4] e molti altri. Più in generale, la NLSE appare come una delle equazioni universali che descrivono l'evoluzione di pacchetti d'onde quasi monocromatiche lentamente variabili in mezzi debolmente non lineari e dispersivi. A differenza dell'equazione di Schrödinger lineare, la NLSE non descrive mai l'evoluzione temporale di uno stato quantistico. La NLSE unidimensionale è un esempio di modello integrabile, che presenta soluzioni solitoniche.
In meccanica quantistica, la NLSE unidimensionale è un caso speciale del campo classico di Schrödinger non lineare, che a sua volta è il limite classico di un campo di Schrödinger quantistico. Al contrario, quando il campo di Schrödinger classico viene quantizzato canonicamente, si ottiene una teoria quantistica dei campi (che è lineare, nonostante sia chiamata ″equazione di Schrödinger non lineare quantistica″) che descrive particelle puntiformi bosoniche con interazioni descritte dalla funzione delta - le particelle o si respingono o si attraggono quando sono nello stesso punto. Infatti, quando il numero di particelle è finito, questa teoria quantistica dei campi è equivalente al modello di Lieb-Liniger. Sia l'equazione di Schrödinger quantistica che quella classica unidimensionale non lineare sono integrabili. Di particolare interesse è il limite di repulsione infinita, nel qual caso il modello di Lieb-Liniger diventa il gas di Tonks-Girardeau (chiamato anche gas di Bose hard-core, o gas di Bose impenetrabile). In questo limite, è possibile trasformare i bosoni, mediante una trasformazione di variabili che è una generalizzazione continua di una trasformazione di Jordan-Wigner, in un sistema unidimensionale di fermioni non interagenti e privi di spin.[5][6]
L'equazione di Schrödinger non lineare è una forma semplificata, in 1+1 dimensioni (una spaziale e una temporale), dell'equazione di Ginzburg–Landau introdotta nel 1950 nel loro lavoro sulla superconduttività, e fu scritta esplicitamente da R. Y. Chiao, E. Garmire, e CH Townes (1964) nel loro studio sui fasci ottici.
La versione multidimensionale sostituisce la derivata seconda spaziale con il laplaciano. In più di una dimensione l'equazione non è più integrabile, ammettendo fenomeni come il collasso dell'onda e la turbolenza d'onda.[7]