Inviluppo (matematica)

In matematica, l'inviluppo di una famiglia o di un insieme di curve piane è la curva tangente a ciascun membro della famiglia in almeno un punto.

Lemniscata di Bernoulli ottenuta per inviluppo di circonferenze. Animazione realizzata in MSWLogo ^[1]

La più semplice espressione analitica di un inviluppo di curve nel piano ${\displaystyle (x,y)}$ è data dalla coppia di equazioni

${\displaystyle F(x,y,t)=0\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0\qquad \qquad (2)}$

dove la famiglia è implicitamente definita da (1); la (2), in termini informali, individua i punti in cui la F(x,y,t) rimane "costante". Deve essere possibile fare la derivata parziale rispetto a t di ciascuna curva della famiglia.

Per una famiglia di curve nel piano definite dalle equazioni parametriche ${\displaystyle (x(t,p),y(t,p))}$, l'inviluppo si ottiene dall'equazione

${\displaystyle {\partial x \over \partial t}{\partial y \over \partial p}={\partial y \over \partial t}{\partial x \over \partial p}}$

dove al variare del parametro p si ottengono le differenti curve della famiglia.

Esempio

Animazione che mostra l'inviluppo di una famiglia di rette a inclinazione negativa

Si consideri il piano cartesiano, I quadrante, e in esso le rette passanti per i punti (0, k – t) e (t, 0), dove k è una costante e la famiglia di rette è generata dal variare del parametro t. La generica equazione di tali rette è y = −(k − t)x/t + k − t, ovvero, in forma implicita:

${\displaystyle F(x,y,t)=t^{2}+t(y-x-k)+kx=0}$

Uguagliando a zero la derivata rispetto a t si ha:

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=2t+y-x-k=0}$

da cui:

${\displaystyle t={\frac {-y+x+k}{2}}}$

Sostituendo t nella definizione di F(x,y,t) si ottiene:

${\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}-2kx-2ky+k^{2}=0}$

che è l'equazione della curva di inviluppo.