Dodecaedro troncato parabiaumentato

In geometria solida, il dodecaedro troncato parabiaumentato è un poliedro con 52 facce che può essere costruito, come intuibile dal suo nome, aumentando un dodecaedro troncato facendo combaciare due delle sue facce decagonali parallele con la base di due cupole pentagonali.

Dodecaedro troncato parabiaumentato
Tipo	Solido di Johnson J68 - J69 - J70
Forma facce	3×10 Triangoli 10 Quadrati 2 Pentagoni 10 Decagoni
Nº facce	52
Nº spigoli	120
Nº vertici	70
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	2×10+20(3.102) 10(3.4.5.4) 20(3.4.3.10)
Gruppo di simmetria	D5d
Proprietà	Convessità
Sviluppo piano

Caratteristiche

Il dodecaedro troncato parabiaumentato è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₆₉, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi,^[1] ed è il quinto di una serie di diciannove solidi archimedei modificati tutti facenti parte dei solidi di Johnson.

Per quanto riguarda i 70 vertici di questo poliedro, su 40 di essi incidono due facce decagonali e una triangolare, su altri 20 incidono una faccia decagonale, una quadrata e due triangolari, e sugli altri 10 incidono una faccia pentagonale, due quadrate e una triangolare.

Formule

Considerando un dodecaedro troncato parabiaumentato avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza ${\displaystyle a}$, le formule per il calcolo del volume ${\displaystyle V}$ e della superficie ${\displaystyle A}$ risultano essere:

${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)\approx 89,6877552\ldots a^{3};}$

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+\left(50+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 103,3734243\ldots a^{2}.}$

Note

1. Norman W. Johnson, Convex Polyhedra with Regular Faces, in Canadian Journal of Mathematics, vol. 18, Canadian Mathematical Society, 1966, pp. 169-200, DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. URL consultato il 14 luglio 2021.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Dodecaedro troncato parabiaumentato, su MathWorld, Wolfram Research.

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