Dodecaedro troncato aumentato

In geometria solida, il dodecaedro troncato aumentato è un poliedro con 42 facce che può essere costruito, come intuibile dal suo nome, aumentando un dodecaedro troncato facendo combaciare una delle sue facce decagonali con la base di una cupola pentagonale.

Dodecaedro troncato aumentato
Tipo	Solido di Johnson J67 - J68 - J69
Forma facce	5×5 Triangoli 5 Quadrati 1 Pentagono 1+2×5 Decagoni
Nº facce	42
Nº spigoli	105
Nº vertici	65
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	4.5+3.10(3.102) 5(3.4.5.4) 10(3.4.3.10)
Gruppo di simmetria	C5v
Proprietà	Convessità
Sviluppo piano

Caratteristiche

Il dodecaedro troncato aumentato è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₆₈, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi,^[1] ed è il quarto di una serie di diciannove solidi archimedei modificati tutti facenti parte dei solidi di Johnson.

Per quanto riguarda i 65 vertici di questo poliedro, su 50 di essi incidono due facce decagonali e una triangolare, su altri 10 incidono una faccia decagonale, una quadrata e due triangolari, e sugli altri 5 incidono una faccia pentagonale, due quadrate e una triangolare.

Formule

Considerando un dodecaedro troncato aumentato avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza ${\displaystyle a}$, le formule per il calcolo del volume ${\displaystyle V}$ e della superficie ${\displaystyle A}$ risultano essere:

${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{12}}\left(505+243{\sqrt {5}}\right)\approx 87,3637099\ldots a^{3};}$

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+\left(110+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 102,1820922\ldots a^{2}.}$

Note

1. Norman W. Johnson, Convex Polyhedra with Regular Faces, in Canadian Journal of Mathematics, vol. 18, Canadian Mathematical Society, 1966, pp. 169-200, DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. URL consultato il 14 luglio 2021.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Dodecaedro troncato aumentato, su MathWorld, Wolfram Research.

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