Pýþagórískur þríhyrningur

Pýþagórískur þríhyrningur er rétthyrndur þríhyrningur þar sem allar hliðarlengdirnar eru jákvæðar heiltölur.

Minnsti pýþagóríski þríhyrningurinn hefur hliðarlengdirnar 3, 4, og 5. Wacław Sierpiński sannaði að til væru óendanlega margir slíkir þríhyrningar.

Þegar hliðarlengdir í pýþagórískum þríhyrningi eru skráðar sem þrívítt hnit, eins og (3,4,5) er það kallað pýþagórísk þrennd. Að sjálfsögðu er ein slík fyrir sérhvern pýþagórískan þríhyrning og öfugt. Til eru margar aðferðir til þess að finna slíkar þrenndir. Hér verður einni slíkri aðferð lýst:

Hugsum okkur rétthyrndan þríhyrning með hliðarnar a, b og c, þar sem a og b eru skammhliðarnar og c er þá langhliðin. Veljum nú tvær ósamþættar oddatölur, köllum þær p og q og látum þá stærri vera p, þ. e. p>q. Setjum svo a=pq, og b=(p²-q²)/2. Þá er c=(p²+q²)/2, eins og auðvelt er að finna með Pýþagórasarreglu og algebru.

Ef við látum p og q vera minnstu mögulegu oddatölur, sem uppfylla skilyrðin, 3 og 1, þá fáum við a=3, b=4 og c=5. Með 5 og 1 fást gildin a=5, b=12 og c=13. Með 5 og 3 fæst a=15, b=8 og c=17. Með 7 og 1 fást gildin a=7, b=24 og c=25. Hér eru komnar 4 mismunandi Pýþagórískar þrenndir, sem eru (3,4,5), (5,12,13), (15,8,17) og (7,24,25). Augljóslega er hægt að halda þessu áfram í hið óendanlega og fá alltaf nýja þrennd. Eitt dæmi enn: p=25, q=9 gefur a=225, b=(625-81)/2=272 og c=(625+81)/2=353. Þess vegna er (225,272,353) Pýþagórísk þrennd og þríhyrningur með þessar hliðarlengdir er því rétthyrndur.