Þríhyrningur

Þríhyrningur er tvívíð rúmmynd, sem myndast af þremur punktum, sem ekki eru á beinni línu. Þríhyrningar hafa þrjá hornpunkta og þrjár hliðar og stysta hliðin liggur andspænis hvassasta horninu og stærsta hliðin á móti gleiðasta horninu.

Þríhyrningur.

Þessi grein er um stærðfræðilegt form. Einnig er til Þríhyrningur (fjall).

Gerðir þríhyrninga

• Þríhyrningur, sem hefur allar hliðarnar jafnlangar, kallast jafnhliða þríhyrningur. Í slíkum þríhyrningi eru öll hornin jafnstór.
• Séu tvær hliðanna jafnlangar en sú þriðja af annarri lengd, kallast hann jafnarma þríhyrningur.
• Þríhyrningur sem hefur þrjár mismunandi hliðarlengdir (og þar af leiðandi þrjár mismunandi hornastærðir) kallast ójafnarma þríhyrningur.

Jafnhliða	Jafnarma	Ójafnarma

• Sé stærsta hornið í þríhyrningi hvasst (<90°) þá heitir hann hvasshyrndur þríhyrningur.
• Sé eitt hornið rétt (=90°) kallast hann rétthyrndur. Rétthyrndur þríhyrningur með heiltölu hliðar kallast Pýþagórískur.
• Sé eitt hornið gleitt (>90°) kallast hann gleiðhyrndur.

Rétthyrndur	Gleiðhyrndur	Hvasshyrndur
	${\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	Skáhyrndir

Mikilvægasta gerð þríhyrninga eru rétthyrndir þríhyrningar. Öllum þríhyrningum, hvort sem þeir eru rétthyrndir eða ekki, er unnt að skipta í tvo rétthyrnda þríhyrninga með því að draga hæð frá stærsta horninu.

Einslaga þríhyrningar

Ef tveir þríhyrningar hafa jafn stór horn, kallast þeir einslaga eða einshyrndir þríhyrningar; hliðarnar þurfa ekki að vera jafn langar, en í einslaga þríhyrningum eru hlutföll á milli samsvarandi hliða jöfn.

Út frá einslaga rétthyrndum þríhyrningum er fundin skilgreining hornafallanna og nokkrar reglur um samband skammhliðanna og hæðar á langhlið, skammhliðar, langhliðar og ofanvarps skammhliðarinnar á langhliðina og samband skammhliðanna við langhlið (regla Pýþagórasar).

Þríhyrningar eru að jafnaði merktir þannig, að hornpunktar þeirra eru táknaðir með upphafsstöfunum A, B og C. Sú hlið, sem liggur á móti hornpunktinum A (á milli B og C) er táknuð með a. Hliðin á móti B er táknuð með b og sú sem er á móti C er táknuð með c. Ef þríhyrningurinn er rétthyrndur er C að jafnaði notað á rétta hornið (C=90°). Góð venja er að merkja minnsta hornið með A og stærsta hornið með C, en það er að sjálfsögðu ekki nauðsynlegt. Sé þessi aðferð notuð er einfalt að leiða í ljós að 60°< C < 180°, það er að segja að stærð stærsta horns í þríhyrningi er alltaf meiri en 60° og minni en 180°. Hornasumma þríhyrnings er 180°, A+B+C=180°.

Flatarmál þríhyrnings

Flatarmál þríhyrnings er afskaplega mikilvægt í flatarmyndafræði, vegna þess að öllum tvívíðum myndum, sem hafa beinar hliðarlínur, má skipta niður í þríhyrninga. Þess vegna er hægt að reikna flatarmál allra slíkra mynda ef hægt er að reikna flatarmál þríhyrninga almennt. Hér verður lýst nokkrum aðferðum til þess að finna flatarmál þríhyrnings:

• Séu grunnlína (g) og hæð á hana (h) þekktar, finnst flatarmálið sem F=gh/2 (grunnlína sinnum hæð deilt með tveimur).
• Séu tvær hliðar þekktar og stærð hornsins á milli þeirra (segjum b og c og hornið A), finnst flatarmálið sem F=bc sin(A)/2 (hálft margfeldi tveggja hliða og sínuss af horninu á milli þeirra).
• Séu hnit hornpunkta þríhyrningsins gefin, má finna tvo vigra sem hafa sama upphafspunkt og liggja eftir hliðum þríhyrningsins, t. d. vigrana AB og AC. Flatarmálið er hálft krossmargfeldi þessara vigra, það er að segja F=|AB||AC|sin(A)/2, þar sem táknið |AB| þýðir lengd vigursins AB.
• Séu lengdir allra hliða þekktar, a, b og c er hægt að nota reglu Herons. Þá er fyrst fundið hálft ummál þríhyrningsins (a+b+c)/2 og það kallað s. Síðan er flatarmálið reiknað þannig: F=[s(s-a)(s-b)(s-c)]^0,5.

Fleiri aðferðir eru til, til dæmis er hægt að nota ákveðu fylkis.

.

Punktar, línur og hringir í sambandi við þríhyrning

• Lína, sem dregin er frá hornpunkti, hornrétt á hliðina á móti því horni, kallast hæð. Í sérhverjum þríhyrningi eru þrjár hæðir, sem allar skerast í einum punkti. Sá punktur kallast miðja (orthocenter) þríhyrningsins og er að jafnaði merktur með O.
• Lína, sem dregin er frá hornpunkti til miðpunkts mótlægrar hliðar, kallast miðlína. Í sérhverjum þríhyrningi eru þrjár miðlínur, sem skerast allar í sama punkti. Sá punktur kallast þyngdarpunktur (centroid) eða massamiðja þríhyrningsins.
• Lína, sem dregin er frá hornpunkti þannig að hún skipti horninu í tvo jafna hluta, kallast helmingalína hornsins. Í hverjum þríhyrningi eru augljóslega þrjár helmingalínur. Þær skerast allar í einum punkti. Sá punktur er miðpunktur innritaðs hrings, sem snertir allar hliðar þríhyrningsins innanvert.
• Lína, sem dregin er hornrétt á hlið í gegnum miðpunkt hennar, kallast miðnormall. Miðnormalar eru þrír og skerast allir í sama punkti. Sá punktur er miðpunktur umritaðs hrings, sem sker alla hornpunkta þríhyrningsins.

Níu punkta hringur

Í gegnum fótpunkta hæðanna og miðpunkta hliðanna gengur hringur, sem kallast níu punkta hringur eða Feuerbach-hringur. Hann gengur einnig í gegnum þá þrjá punkta, sem eru mitt á milli O og hornpunkta þríhyrningsins (O=orthocenter, skurðpunktur allra hæðanna).

Euler-lína

Þyngdarpunkturinn, skurðpunktur hæðanna, skurðpunktur miðnormalanna og miðpunktur Feuerbach-hringsins liggja allir á einni og sömu línunni, sem kennd er við stærðfræðinginn Leonhard Euler, og kallast Euler-lína. Skurðpunktur helmingalínanna (= miðpunktur innritaða hringsins) liggur venjulega ekki á Euler-línunni.

Formúlur

Flatarmál

${\displaystyle F={\frac {g\cdot h}{2}}}$

Heimildir

• Fyrirmynd greinarinnar var „Triangle“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt febrúar 2005.