Himpunan terurut parsial

Dalam matematika, terutama teori urutan, himpunan terurut parsial (bahasa Inggris: partially ordered set) atau poset memformalkan dan memperumum konsep intuitif dari suatu urutan, pengurutan, atau susunan elemen-elemen dari sebuah himpunan. Poset terdiri dari sebuah himpunan bersama dengan relasi biner yang menunjukkan, untuk pasangan elemen-elemen tertentu dalam himpunan, salah satu elemen mendahului elemen yang lain dalam urutan. Relasi itu sendiri disebut "urutan parsial". Kata parsial digunakan untuk menandakan bahwa semua pasangan elemen tidak perlu dibandingkan. Artinya, mungkin saja ada pasangan elemen yang tidak mendahului satu sama yang lain di dalam poset. Urutan parsial memperumum konsep urutan total, yakni urutan di mana setiap pasangan dapat dibandingkan.

Relasi biner
Simetrik Antisimetrik Connex Ditemukan baik Telah bersambung Telah bertemu Relasi ekuivalen ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Praurutan (Kuasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Urutan parsial ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ Praurutan total ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ Urutan total ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ Pra-urutan rapi ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Kuasi urutan rapi ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Urutan rapi ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Kisi ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ Sambungan-semikekisi ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ Pertemuan-semikekisi ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓
Simbol "✓" menunjukkan bahwa sifat kolom diperlukan dalam definisi baris. Misalnya, definisi relasi ekuivalen diperlukan menjadi simetris. Semua definisi secara diam-diam memerlukan ketransitifan dan refleksivitas.

Diagram Hasse dari himpunan kuasa dari himpunan berisi tiga elemen ${\displaystyle \{x,y,z\},}$ dengan relasi subset. Himpunan-himpunan yang terhubung lewat panah-panah yang menaik, seperti ${\displaystyle \emptyset }$ dan ${\displaystyle \{x,y\}}$, dapat dibandingkan; sedangkan ${\displaystyle \{x\}}$ dan ${\displaystyle \{y\}}$ tidak.

Satu contoh familiar dari himpunan yang tersusun sebagian adalah sekumpulan orang yang diurutkan berdasarkan silsilah keturunan. Beberapa pasang orang memiliki relasi keturunan, tetapi pasangan orang lainnya (misal, sesama saudara kandung) tidak dapat dibandingkan, karena tidak ada yang menjadi keturunan dari yang lain.

Definisi

Urutan parsial mendefinisikan konsep perbandingan. Dua elemen ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ dapat berada di salah satu dari empat hubungan yang disjoin satu sama lainnya: antara ${\displaystyle x<y,}$ ${\displaystyle x=y,}$ ${\displaystyle x>y,}$ atau ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ tidak dapat dibandingkan.^[1][2]

Sebuah himpunan yang dilengkapi urutan parsial disebut himpunan terurut parsial (juga disebut poset). Istilah "himpunan terurut" terkadang digunakan, selama konteks urutan yang dimaksud jelas. Alasannya, himpunan terurut total juga dapat disebut "himpunan terurut", khususnya di bidang matematika yang lebih lazim menemui struktur tersebut ketimbang poset. Relasi urutan pada sebuah poset dapat divisualisasikan lewat diagram Hasse poset tersebut.^[3]

Secara formal, relasi urutan parsial adalah sebuah relasi homogen yang bersifat transitif dan antisimetris.^[4] Ada dua subdefinisi umum untuk relasi urutan parsial, yakni relasi urutan parsial yang reflektif dan yang tak-reflektif, yang masing-masing disebut dengan "tak-tegas" dan "tegas". Kedua definisi ini dapat digabungkan dalam korespodensi satu-satu; sehingga setiap urutan parsial tegas berhubungan dengan tepat satu urutan parsial tak-tegas, dan sebaliknya. Istilah urutan parsial umumnya mengacu pada versi tak-tegas dari relasi urutan.

Urutan parsial tak-tegas

Urutan parsial reflektif, lemah,^[4] atau tak-tegas,^[5] adalah relasi homogen ≤ pada sebuah himpunan ${\displaystyle P}$ yang bersifat reflektif, antisimetris, dan transitif. Dengan kata lain, untuk setiap ${\displaystyle a,b,c\in P,}$ akan berlaku:

1. Relasi reflektif: ${\displaystyle a\leq a}$, maksudnya, setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri.
2. Relasi antisimetri: jika ${\displaystyle a\leq b}$ dan ${\displaystyle b\leq a}$ maka ${\displaystyle a=b}$, mengartikan tidak ada dua elemen berbeda yang saling mendahului.
3. Relasi transitif: jika ${\displaystyle a\leq b}$ dan ${\displaystyle b\leq c}$ maka ${\displaystyle a\leq c}$.

Urutan parsial tak-tegas juga dikenal sebagai pratatanan antisimetris.

Urutan parsial tegas

Urutan parsial irreflektif, kuat,^[4] atau tegas, adalah relasi homogen < pada sebuah himpunan ${\displaystyle P}$ yang bersifat reflektif, antisimetris, dan transitif. Dengan kata lain, urutan ini memenuhi sifat-sifat berikut, untuk semua ${\displaystyle a,b,c\in P:}$

1. Relasi irreflektif: Tidak ${\displaystyle a<a}$, maksudnya, tidak ada elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri (relasi ini juga disebut anti-reflektif).
2. Relasi antisimetri: Jika ${\displaystyle a<b}$ maka tidak ${\displaystyle b<a}$.
3. Relasi transitif: Jika ${\displaystyle a<b}$ dan ${\displaystyle b<c}$ maka ${\displaystyle a<c}$.

Sifat irreflektif dan transitif bersamaan mengimplikasikan sifat asimetri. Selain itu, sifat asimetri juga menyebabkan sifat irreflektif. Dengan kata lain, relasi yang transitif bersifat asimetri jika dan hanya jika juga bersifat irreflektif.^[6] Hal ini mengakibatkan definisi diatas tidak berubah bahkan jika relasi irreflektif atau asimetri (namun tidak keduanya) tidak disertakan. Urutan parsial tegas juga dikenal sebagai pratatanan tegas.

Korespodensi relasi tegas dan tak-tegas

Fig.2 Diagram komutatif tentang koneksi antara relasi tegas/tak-tegas dan dual mereka, lewat operasi reflexive closure (cls), irreflexive kernel (ker), dan converse relation (cnv). Setiap relasi ditunjukkan dengan matriks biner untuk poset yang diagram Hassenya digambarkan di bagian tengah ilustrasi. Sebagai contoh, ${\displaystyle 3\not \leq 4}$ mengartikan elemen di baris-3 kolom-4 pada matriks di sisi kiri bawah kosong.

Urutan parsial tegas dan tak-tegas pada himpunan ${\displaystyle P}$ memiliki hubungan yang erat. Urutan parsial tak-tegas ${\displaystyle \leq }$ dapat diubah menjadi urutan parsial tegas dengan menghilangkan semua hubungan yang memiliki bentuk ${\displaystyle a\leq a;}$ artinya, himpunan parsial tegas adalah himpunan ${\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P},}$ dengan ${\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}}$ adalah relasi identitas pada ${\displaystyle P\times P}$ dan ${\displaystyle \;\setminus \;}$ menyatakan operasi pengurangan pada himpunan. Urutan parsial tegas ${\displaystyle <}$ pada ${\displaystyle P}$ dapat diubah menjadi urutan parsial tak-tegas dengan menggabungkannya dengan realsi identitas; yakni ${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;}$. Akibatnya, jika ${\displaystyle \leq }$ adalah urutan parsial tak-tegas, maka urutan parsial tegas ${\displaystyle <}$ yang berkorespodensi dengannya adalah irreflexive kernel:$${\displaystyle a<b{\text{ if }}a\leq b{\text{ dan }}a\neq b.}$$Sebalinya, jika < adalah urutan parsial tegas, maka urutan parsial tak-tegas ${\displaystyle \leq }$ yang berkorespodensi dengannya reflexive closure:$${\displaystyle a\leq b{\text{ if }}a<b{\text{ atau }}a=b.}$$

Notasi

Poset dapat disajikan sebagai rangkap-3 ${\displaystyle (P,\leq ,<)}$,^[7] dengan ${\displaystyle \leq }$ adalah relasi parsial tak-tegas pada ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle <}$ adalah relasi parsial tegas yang berkorespodensi pada ${\displaystyle P}$ (irreflexive kernel dari ${\displaystyle \leq }$). Simbol ${\displaystyle \geq }$ digunakan untuk menunjukkan dual dari ${\displaystyle \leq }$, dan ${\displaystyle >}$ untuk menunjukkan dual dari ${\displaystyle <}$.

Salah satu dari empat relasi parsial ${\displaystyle \leq ,<,\geq ,{\text{ dan }}>}$ pada suatu himpunan akan secara unik menentukan tiga relasi yang lain. Akibatnya, bentuk ${\displaystyle (P,\leq )}$ atau ${\displaystyle (P,<)}$ dapat digunakan sebagai notasi, dan berasumsi bahwa relasi-relasi yang lain akan didefinisikan secara wajar. Pendefinisian menggunakan urutan parsial tak-tegas ${\displaystyle \leq }$ adalah yang paling umum. Beberapa penulis menggunakan simbol selain ${\displaystyle \leq }$, seperti ${\displaystyle \sqsubseteq }$^[8] dan ${\displaystyle \preceq }$^[9], untuk membedakannya dengan urutan total.

Ketika mengacu pada urutan parsial, ${\displaystyle \leq }$ sebaiknya tidak dianggap sebagai komplemen dari ${\displaystyle >}$. Relasi ${\displaystyle >}$ adalah konvers irreflexive kernel dari ${\displaystyle \leq }$, yang akan selalu berupa subset komplemen dari ${\displaystyle \leq }$, namun ${\displaystyle >}$ sama dengan komplemen dari ${\displaystyle \leq }$ jika, dan hanya jika, ${\displaystyle \leq }$ adalah urutan total.^{[lower-alpha 1]}

Contoh

Urutan pada produk Kartesius dari himpunan urutan sebagian

Penutupan refleksif atas pesanan produk langsung yang ketat pada ℕ × ℕ. Elemen tertutup oleh (3,3) dan penutup (3,3) disorot dalam warna hijau dan merah, masing-masing.

Urutan leksikografik pada ℕ×ℕ

Untuk meningkatkan kekuatan, yaitu, penurunan set pasangan, tiga dari kemungkinan pesanan parsial pada Produk Kartesius dari dua set yang dipesan sebagian adalah (lihat gambar):

• urutan leksikografis: (a,b) ≤ (c,d) jika a < c atau (a = c dan b ≤ d);
• urutan produk: (a,b) ≤ (c,d) jika a ≤ c dan b ≤ d;
• penutupan refleksif dari produk langsung dari pesanan ketat yang sesuai:   (a,b) ≤ (c,d) jika (a < c dan b < d) atau (a = c dan b = d).

Ketiganya dapat didefinisikan secara serupa untuk produk Kartesius lebih dari dua himpunan.

Diterapkan ke ruang vektor terurut di atas bidang yang sama, hasilnya dalam setiap kasus juga merupakan ruang vektor terurut.

Lihat pula urutan pada produk Kartesius dari himpunan berurutan total.

Jumlah himpunan yang diurutkan sebagian

Diagram Hasse dari urutan parsial deret-paralel, dibentuk sebagai jumlah ordinal dari tiga ordo parsial yang lebih kecil.

Cara lain untuk menggabungkan dua poset adalah jumlah ordinal^[10] (or jumlah linear^[11]), Z = X ⊕ Y, ditentukan pada penyatuan himpunan yang mendasari X dan Y berdasarkan urutan a ≤_Z b jika dan hanya jika:

• a, b ∈ X dengan a ≤_X b, atau
• a, b ∈ Y dengan a ≤_Y b, atau
• a ∈ X dan b ∈ Y.

Jika dua poset urutan rapi, maka jumlah ordinalnya juga.^[12] Operasi penjumlahan ordinal adalah salah satu dari dua operasi yang digunakan untuk membentuk urutan parsial deret-paralel, dan dalam konteks ini disebut komposisi seri. Operasi lain yang digunakan untuk membentuk tatanan ini, penyatuan dua himpunan yang terurut sebagian (tanpa hubungan keteraturan antara unsur satu himpunan dan unsur himpunan lainnya) disebut dalam komposisi paralel konteks ini.

Pemetaan antar poset

Pesanan produk pada ℕ × ℕ

Diberikan dua set yang dipesan sebagian (S, ≤) dan (T, ≤), sebuah fungsi f: S → T disebut pengawetan urutan, atau monoton, atau isoton, jika untuk x dan y pada S , x ≤ y menyiratkan f(x) ≤ f(y).

Jika (U, ≤) juga merupakan himpunan yang dipesan sebagian, dan keduanya f: S → T dan g: T → U menjaga keteraturan, komposisi mereka g∘f : S → U juga menjaga ketertiban. Sebuah fungsi f: S → T disebut urutan refleksi jika untuk x dan y pada S , f(x) ≤ f(y) menyiratkan x ≤ y. Jika f baik untuk menjaga ketertiban maupun mencerminkan ketertiban, maka ini disebut urutan pembenaman dari (S, ≤) menjadi (T, ≼). Dalam kasus terakhir, f harus injektif, karena f(x) = f(y) menyiratkan x ≤ y dan y ≤ x. Jika ada urutan pembenaman antara dua himpunan terurut parsial S dan T, satunya dikatakan bahwa S dapat menjadi terbenam ke dalam T . Jika urutan pembenaman f: S → T adalah bijektif, ini disebut 'isomorfisme tatanan' , dan urutan parsial (S,≤) dan (T ,≤) dikatakan menjadi isomorfik. Ordo isomorfik memiliki struktur serupa diagram Hasse (lih. Gambar kanan). Dapat ditunjukkan bahwa jika peta pelestarian pesanan f: S → T dan g: T → S dirumuskan g∘f dan f∘g menghasilkan fungsi identitas pada S dan T , lalu S dan T adalah urutan-isomorfik.

^[13]

Isomorfisme urutan antara pembagi 120 (sebagian diurutkan berdasarkan pembagian) dan himpunan bagian tertutup pembagi dari {2, 3, 4, 5, 8} (diurutkan sebagian oleh penyertaan himpunan)

Misalnya, pemetaan f: ℕ → ℙ(ℕ) dari himpunan bilangan asli (diurutkan berdasarkan pembagian) ke himpunan daya dari bilangan asli (diurutkan berdasarkan set inklusi) dapat ditentukan dengan mengambil setiap bilangan ke himpunan pembagi utama. Ini menjaga keteraturan: jika x membagi y , maka setiap pembagi utama dari x juga merupakan pembagi utama dari y . Namun, ini bukan injektif (karena memetakan 12 dan 6 ke {2, 3}) atau mencerminkan urutan (karena 12 tidak membagi 6). Mengambil alih-alih setiap bilangan ke himpunan pangkat utama -nya mendefinisikan peta g: ℕ → ℙ(ℕ) yaitu memelihara ketertiban, mencerminkan ketertiban, dan karenanya merupakan penyematan pesanan. Ini bukan isomorfisme urutan (karena misalnya tidak memetakan nomor apa pun ke himpunan {4}), tapi bisa dibuat dengan membatasi kodomain menjadi g(ℕ). Gambar kanan menunjukkan subhimpunan dari ℕ dan gambar isomorfiknya di bawah g . Konstruksi isomorfisme-tatanan semacam itu ke dalam himpunan daya dapat digeneralisasikan ke kelas luas tatanan parsial, disebut kekisi distributif, lihat "Teorema wakilan Birkhoff".

Konsep yang berkaitan

Ekstrema

Bilangan bulat nonnegatif, diurutkan berdasarkan pembagian

Ada beberapa pengertian tentang elemen "terbesar" dan "terkecil" dalam sebuah poset P , terutama:

• Elemen terbesar dan elemen terkecil: Sebuah elemen g dalam P adalah elemen terbesar jika untuk setiap elemen a dalam P , a ≤ g. Sebuah elemen m dalam P adalah elemen terkecil jika untuk setiap elemen a dalam P , a ≥ m . Poset hanya dapat memiliki satu elemen terbesar atau terkecil.
• Elemen maksimal dan elemen minimal: Elemen g di P adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen a di P sehingga a > g . Demikian pula, elemen m di P adalah elemen minimal jika tidak ada elemen a di P sehingga a < m . Jika poset memiliki elemen terbesar, itu harus menjadi elemen maksimal yang unik, tetapi jika tidak, bisa ada lebih dari satu elemen maksimal, dan juga untuk elemen terkecil dan elemen minimal.
• Batas atas dan bawah: Untuk subset A dari P , elemen x dalam P adalah batas atas dari A if a ≤ x, untuk setiap elemen a pada A. Secara khusus, x tidak perlu berada di A untuk menjadi batas atas dari A . Demikian pula, elemen x dalam P adalah batas bawah dari A jika a ≥ x, untuk setiap elemen a di A . Unsur terbesar dari P adalah batas atas P , dan unsur terkecil adalah batas bawah P .

Gambar di atas dengan elemen terbesar dan terkecil dihilangkan. Dalam poset yang diperkecil ini, baris teratas dari elemen adalah semua elemen maksimal , dan baris paling bawah adalah semua elemen minimal , tetapi tidak ada elemen terbesar dan tidak ada elemen terkecil . Himpunan {x, y} adalah batas atas untuk kumpulan elemen {{x}, {y}}.

Misalnya, perhatikan bilangan bulat positif, yang diurutkan berdasarkan dapat dibagi: 1 adalah elemen terkecil, karena membagi semua elemen lainnya; di sisi lain poset ini tidak memiliki elemen terbesar (meskipun jika seseorang akan menyertakan 0 dalam poset, yang merupakan kelipatan dari bilangan bulat, itu akan menjadi elemen terbesar; lihat gambar). Kumpulan yang diurutkan sebagian ini bahkan tidak memiliki elemen maksimal, karena ada g yang terbagi misalnya 2g, yang berbeda dari itu, lagu tidak maksimal. Jika angka 1 dikecualikan, sambil menjaga agar dapat dibagi sebagai urutan pada elemen yang lebih besar dari 1, maka poset yang dihasilkan tidak memiliki elemen terkecil, tetapi bilangan prima adalah elemen minimal untuk itu. Dalam poset ini, 60 adalah batas atas (meskipun bukan batas atas terkecil) dari subset {2, 3, 5, 10}, yang tidak memiliki batas bawah (karena 1 tidak ada di poset); di sisi lain 2 adalah batas bawah dari himpunan bagian dari pangkat 2, yang tidak memiliki batas atas.

Banyaknya urutan parsial

Urutan A001035 di OEIS memberikan jumlah urutan parsial pada satu himpunan unsur dinamakan n :

Jumlah n -relasi biner elemen dari tipe yang berbeda

Ele­men	Any	Transitif	Refleksif	Urutan utama	Urutan sebagian	Total praorder	Total urutan	Relasi kesetaraan
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n			∑n k=0  k! S(n, k)	n!	∑n k=0  S(n, k)
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Jumlah urutan parsial ketat sama dengan jumlah pesanan parsial.

Jika hitungan dilakukan hanya hingga isomorfisme, urutan 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… (barisan A000112 pada OEIS) diperoleh.

Ekstensi linear

Memelihara pesanan, tetapi tidak mencerminkan pesanan (karena f(u) ≤ f(v), tapi tidak u ≤ v) peta.

Urutan parsial ≤^* pada himpunan X adalah ekstensi dari urutan parsial lain ≤ on X asalkan untuk semua elemen x dan y dari X , setiap kali x ≤ y , hal itu juga terjadi x ≤^* y. A ekstensi linier adalah ekstensi yang juga merupakan tatanan linear (yaitu total). Setiap pesanan parsial dapat diperpanjang menjadi pesanan total (prinsip perpanjangan urutan).^[14]

Dalam ilmu komputer, Algoritma untuk menemukan ekstensi linier dari urutan parsial (diwakilkan sebagai jangkauan urutan grafik asiklik terarah) disebut penyortiran topologis.

Dalam teori kategori

Setiap poset (dan setiap set praorder) dapat dianggap sebagai kategori di mana, untuk objek x dan y , paling banyak ada satu morfisme dari x hingga y . Lebih eksplisit lagi, maka hom(x, y) = {(x, y)} if x ≤ y (dan sebalik himpunan kosong) dan (y, z)∘(x, y) = (x, z). Kategori seperti itu kadang disebut posetal .

Poset adalah ekuivalen satu sama lain jika dan hanya jika poset tersebut isomorfik. Dalam poset, elemen terkecil, jika ada, adalah objek awal, dan elemen terbesar, jika ada, adalah objek terminal. Selain itu, setiap set yang dipesan sebelumnya setara dengan poset. Akhirnya, setiap subkategori poset adalah isomorfisme tertutup.

Urutan parsial dalam ruang topologi

Artikel utama: Ruang urutan sebagian

Jika P adalah himpunan terurut parsial yang juga telah diberi struktur ruang topologi, maka biasanya diasumsikan bahwa ${\displaystyle \{(a,b):a\leq b\}}$ adalah subhimpunantertutup dari topologi ruang produk ${\displaystyle P\times P}$. Di bawah asumsi ini, hubungan urutan parsial berperilaku baik pada batas dalam arti jika ${\displaystyle a_{i}\to a}$, dan ${\displaystyle b_{i}\to b}$, dan untuk ${\displaystyle i}$,   ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$, kemudian ${\displaystyle a\leq b}$.^[15]

Lihat pula

• Antimatroid, formalisasi urutan pada satu set yang memungkinkan kelompok urutan yang lebih umum daripada poset
• Himpunan kausal, pendekatan berbasis poset untuk gravitasi kuantum
• Grafik komparabilitas
• Urutan kompleks
• Himpunan terarah
• Poset dinilai
• Aljabar insiden
• kisi
• Poset hingga secara lokal
• Fungsi Mbius pada posets
• Himpunan nested
• Politico urutan
• Grup urutan
• Topologi poset, sejenis ruang topologi yang dapat didefinisikan dari poset manapun
• Kontinuitas Scott - kontinuitas fungsi antara dua orde parsial.
• Semikisi
• Semiorder
• Dominasi stokastik
• Pengurutan lemah – urutan parsial ketat "<" di mana relasi "neither a < b nor b < a" bersifat transitif.
• Total urutan
• Pohon (struktur data set inclusion)
• Lemma Zorn

Catatan

1. "Finite posets". Sage 9.2.beta2 Reference Manual: Combinatorics. Diakses tanggal 5 January 2022. compare_elements(x, y): Compare x and y in the poset. If x<y, return -1. If x=y, return 0. If x>y, return 1. If x and y are not comparable, return None.
2. Chen, Peter; Ding, Guoli; Seiden, Steve. "On Poset Merging" (PDF): 2. Diakses tanggal 5 January 2022. A comparison between two elements s, t in S returns one of three distinct values, namely s≤t, s>t or s|t.
3. Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. New York: John Wiley & Sons. hlm. 28. ISBN 0-471-83817-9. Diakses tanggal 27 July 2012. A partially ordered set is conveniently represented by a Hasse diagram...
4. Wallis, W. D. (14 March 2013). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 100. ISBN 978-1-4757-3826-1.
5. Simovici, Dan A.; Djeraba, Chabane (2008). "Partially Ordered Sets". Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012. Parameter |name-list-style= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
6. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). "Transitive Closures of Binary Relations I". Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica. Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 48 (1): 55–69. Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".
7. Avigad, Jeremy; Lewis, Robert Y.; van Doorn, Floris (29 March 2021). "13.2. More on Orderings". Logic and Proof (edisi ke-Release 3.18.4). Diakses tanggal 24 July 2021. So we can think of every partial order as really being a pair, consisting of a weak partial order and an associated strict one.
8. Rounds, William C. (7 March 2002). "Lectures slides" (PDF). EECS 203: DISCRETE MATHEMATICS. Diakses tanggal 23 July 2021.
9. Kwong, Harris (25 April 2018). "7.4: Partial and Total Ordering". A Spiral Workbook for Discrete Mathematics (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 23 July 2021.
10. Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Product Order and Lexicographic Order", Basic Posets, World Scientific, hlm. 62–63, ISBN 9789810235895
11. Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (edisi ke-Second). New York: Cambridge University Press. hlm. 17–18. ISBN 0-521-78451-4 – via Google Books.
12. P. R. Halmos (1974). Naive Set Theory. Springer. hlm. 82. ISBN 978-1-4757-1645-0.
13. Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). "Maps between ordered sets". Introduction to Lattices and Order (edisi ke-2nd). New York: Cambridge University Press. hlm. 23–24. ISBN 0-521-78451-4. MR 1902334..
14. Jech, Thomas (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.
15. Ward, L. E. Jr (1954). "Partially Ordered Topological Spaces". Proceedings of the American Mathematical Society. 5 (1): 144–161. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5 . hdl:10338.dmlcz/101379.

Referensi

• Deshpande, Jayant V. (1968). "On Continuity of a Partial Order". Proceedings of the American Mathematical Society. 19 (2): 383–386. doi:10.1090/S0002-9939-1968-0236071-7 .
• Schmidt, Gunther (2010). Relational Mathematics. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 132. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76268-7.
• Bernd Schröder (11 May 2016). Ordered Sets: An Introduction with Connections from Combinatorics to Topology. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-29788-0.
• Stanley, Richard P. (1997). Enumerative Combinatorics 1. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 49. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66351-2.

Pranala luar

• Templat:OEIS el
• Templat:OEIS el

1. A proof can be found here.