Hasil bagi

Dalam aritmatika, sebuah hasil bagi (dari bahasa Latin: quotiens "kali berapa ", diucapkan /ˈkwoʊʃənt/) adalah besaran yang dihasilkan oleh pembagian dari dua bilangan.^[1] Hasil bagi telah digunakan secara luas di seluruh matematika, dan biasanya disebut sebagai bagian bilangan bulat dari sebuah pembagian (dalam kasus pembagian Euklides),^[2][3] atau sebagai pecahan atau rasio (dalam kasus pembagian yang tepat). Misalnya, ketika membagi 20 ("dibagi") dengan 3 ("pembagi"), "hasil bagi" adalah 6 dalam pengertian pembagian Euklides, dan ${\displaystyle 6{\tfrac {2}{3}}}$ dalam arti pembagian yang tepat. Dalam pengertian kedua, hasil bagi hanyalah rasio pembagian pada pembaginya.

Untuk kegunaan lain, lihat Hasil bagi (disambiguasi).

Lihat pula: Pembagian, Pecahan (matematika), dan Rasio

Operasi aritmetika l b s

Penambahan (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{suku}}\,+\,{\text{suku}}\\\scriptstyle {\text{yang ditambah}}\,+\,{\text{penambah}}\\\scriptstyle {\text{tinambah}}\,+\,{\text{penambah}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{jumlah}}}$ Pengurangan (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{suku}}\,-\,{\text{suku}}\\\scriptstyle {\text{kinurang}}\,-\,{\text{pengurang}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{selisih}}\\\scriptstyle {\text{beda}}\end{matrix}}}$ Perkalian (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{faktor}}\,\times \,{\text{faktor}}\\\scriptstyle {\text{pengali}}\,\times \,{\text{kinali}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hasil kali}}\\\scriptstyle {\text{darab}}\end{matrix}}}$ Pembagian (÷), (/) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividen}}}{\scriptstyle {\text{pembagi}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{pembilang}}}{\scriptstyle {\text{penyebut}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hasil bagi}}\\\scriptstyle {\text{pecahan}}\\\scriptstyle {\text{rasio}}\end{matrix}}}$ Eksponensiasi (^) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{bilangan pokok}}^{\text{eksponen}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{pangkat}}}$ Penarikan akar (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{pangkat}}]{\scriptstyle {\text{radikan}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{akar}}}$ Logaritma (log) ${\displaystyle \scriptstyle ^{\text{bilangan pokok}}\!\log({\text{antilogaritma}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logaritma}}}$

Hasil bagi 12 apel dengan 3 apel adalah 4.

Notasi

Artikel utama: Pembagian § Notasi

Hasil bagi paling sering ditemui sebagai dua bilangan, atau dua variabel, dibagi dengan garis horizontal. Kata "dibagi" dan "pembagi" mengacu pada masing-masing bagian, sedangkan kata "hasil bagi" mengacu pada keseluruhan.

$${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\quad {\begin{aligned}&\leftarrow {\text{dibagi atau pembilang}}\\&\leftarrow {\text{pembagi atau penyebut}}\end{aligned}}{\Biggr \}}\leftarrow {\text{hasil bagi}}}$$

Definisi bagian bilangan bulat

Hasil bagi juga kurang umum didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar dari kali pembagi dikurangkan dari dibagi—sebelum menjadikan sisa negatif. Misalnya, pembagi 3 dikurangi hingga 6 kali dari pembagian 20, sebelum sisanya menjadi negatif:

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≥ 0,

sedangkan

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0.

Dalam pengertian ini, hasil bagi adalah bagian bilangan bulat dari rasio dua bilangan.^[4]

Hasil bagi dua bilangan bulat

Artikel utama: Bilangan rasional

Sebuah bilangan rasional didefinisikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (selama penyebutnya bukan nol).

Definisi yang lebih rinci adalah sebagai berikut:^[5]

Sebuah bilangan real r adalah rasional, jika dan hanya jika dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dengan penyebut bukan nol. Bilangan real bukan rasional disebut juga sebagai irasional.

Atau lebih formal:

Diberikan bilangan real r, r adalah rasional jika dan hanya jika bilangan bulat a dan b sehingga ${\displaystyle r={\tfrac {a}{b}}}$ dan ${\displaystyle b\neq 0}$.

Keberadaan bilangan irasional—bilangan yang bukan hasil bagi dua bilangan bulat—pertama kali ditemukan dalam geometri, dalam hal-hal seperti rasio diagonal ke sisi dalam persegi.^[6]

Hasil bagi umum

Di luar aritmetika, banyak cabang matematika telah meminjam kata "hasil bagi" untuk menggambarkan struktur yang dibangun dengan memecah struktur yang lebih besar menjadi beberapa bagian. Diberikan himpunan dengan relasi ekuivalen yang didefinisikan di atas, sebuah "himpunan hasil bagi" berisi kelas ekuivalen tersebut sebagai elemen. Grup hasil bagi dibentuk dalam pecahan grup menjadi sebagai hasil bagi kohimpunan yang serupa, sedangkan ruang hasil bagi dibentuk dalam proses serupa dalam pecahan ruang vektor menjadi beberapa subruang linear yang serupa.

Lihat pula

• Darab (matematika)
• Kategori hasil bagi
• Grafik hasil bagi
• Hasil bagi dalam pembagian bilangan bulat
• Modul hasil bagi
• Objek hasil bagi
• Hasil bagi bahasa formal, juga hasil bagi kiri dan kanan
• Gelanggang hasil bagi
• Himpunan hasil bagi
• Ruang hasil bagi (topologi)
• Jenis hasil bagi
• Kutipan dan partisi

Referensi

1. "Quotient". Dictionary.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-05. Diakses tanggal 2021-08-21.
2. "Panduan Matematika Tinggi Definitif untuk Pembagian Panjang dan Variannya untuk Bilangan Bulat (Pembagian Euklidean — Terminologi)". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-02-24. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-06-21. Diakses tanggal 2020-08-27.
3. Weisstein, Eric W. "Integer Division". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-02-21. Diakses tanggal 2020-08-27.
4. (Inggris) Weisstein, Eric W. "Hasil bagi". MathWorld.
5. Epp, Susanna S. (2011-01-01). Discrete mathematics with applications. Brooks/Cole. hlm. 163. ISBN 9780495391326. OCLC 970542319.
6. "Irrationality of the square root of 2". www.math.utah.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-05. Diakses tanggal 2020-08-27.