Geometri mutlak

Geometri mutlak adalah geometri yang didasarkan pada sistem aksioma geometri Euklides tanpa menggunakan postulat paralel maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari postulat Euklidean. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti aksioma Hilbert tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar.^[1] Istilah ini diperkenalkan oleh János Bolyai pada tahun 1832.^[2] Geometri ini terkadang disebut sebagai geometri netral,^[3] dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.

Geometri
Proyeksi sebuah lingkaran pada sebuah bidang
Garis besar Sejarah
Cabang Euklides takEuklides Elips Bola Hiperbola Geometri non-Archimedes Projektif Afin Sintetis Analitis Aljabar Aritmetika Diophantus Diferensial Riemann Simplektik Diferensial diskret Kompleks Tentu Diskrit Digital Cembung Komputasi Fraktal Insidens
Konsep Tampilan Dimensi Melukis dengan penggaris dan jangka busur Sudut Kurva Diagonal Ortogonalitas (tegak lurus) Sejajar Titik pojok Kekongruenan Keserupaan Simetri
Dimensi nol Titik
Dimensi satu Garis segmen sinar Panjang
Dimensi dua Bidang Luas Poligon Segitiga Tinggi Hipotenusa Teorema Phytagoras Jajaran genjang Persegi Persegi panjang Belah ketupat Segi empat Trapesium Layang-layang Lingkaran Diameter Keliling Luas
Dimensi tiga Volume Kubus Balok Tabung Limas Bola
Dimensi empat dan lainnya Tesseract Hiperbola
Ahli geometri
Berdasarkan nama Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Daftar ahli geometri
Berdasarkan waktu BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400-an Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400-an–1700-an Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700an–1900an Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Sekarang Atiyah Gromov
l b s

Sifat

Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada Elemen Euklides, Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut.^[4] Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan teorema sudut eksterior (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta Teorema Saccheri – Legendre, yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.^[5]

Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut.^[6] Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis ${\displaystyle l}$ dan setiap titik ${\displaystyle P}$ yang tidak terletak pada ${\displaystyle l}$, ada setidaknya satu garis yang melewati ${\displaystyle P}$ dan sejajar dengan ${\displaystyle l}$. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis ${\displaystyle m}$ dari ${\displaystyle P}$ ke ${\displaystyle l}$ yang tegak lurus, lalu membuat garis ${\displaystyle n}$ yang tegak lurus dengan ${\displaystyle m}$ dan melalui ${\displaystyle P}$. Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis ${\displaystyle l}$ sejajar dengan ${\displaystyle n}$. (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ yang dipotong oleh garis ${\displaystyle t}$ membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ saling sejajar.)^[4]

Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada segiempat Saccheri tidak mungkin tumpul, dan geometri bola bukanlah geometri absolut.

Hubungannya dengan geometri lain

Teorema geometri absolut berlaku dalam geometri hiperbolik, yang merupakan geometri non-Euklides, serta dalam geometri Euklides.^[7]

Geometri absolut tidak konsisten dengan geometri elips: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.^[8]

Geometri absolut adalah perpanjangan dari geometri terurut, dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan geometri affine, yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid. (3: "Untuk mendeskripsikan lingkaran dengan semua pusat dan jarak radius.", 4: "Bahwa semua sudut siku sama satu sama lain.") Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.^[9]

Geometri relativitas khusus telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut.^[10][11] Para penulis Edwin B. Wilson dan Gilbert N. Lewis kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan rotasi hiperbolik sebagai transformasi yang menghubungkan dua kerangka acuan.

Bidang Hilbert

Sebuah bidang yang memenuhi aksioma Incidence Hilbert, betweness, dan kekongruenan, disebut dengan bidang Hilbert.^[12] Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.^[13]

Ketidaklengkapan

Geometri absolut adalah sistem aksiomatik yang tidak lengkap, dalam artian bahwa seseorang dapat menambahkan aksioma baru yang independen, tanpa membuat sistem aksioma menjadi tidak konsisten. Seseorang dapat memperluas geometri absolut dengan menambahkan aksioma yang berbeda tentang sifat garis paralel dan mendapatkan beberapa sistem aksioma yang konsisten namun tidak saling compatible. Hal ini yang menimbulkan geometri Euklides atau hiperbolik. Dengan demikian, setiap teorema pada geometri absolut juga merupakan teorema pada geometri hiperbolik dan geometri Euklides. Namun pernyataan sebaliknya tidak benar.

Lihat pula

• Geometri Affine
• Program Erlangen
• Fondasi geometri
• Geometri insiden
• Geometri Non-Euklides

Catatan

1. Faber 1983, pg. 131
2. dalam "Lampiran menunjukkan ilmu mutlak ruang: terlepas dari kebenaran atau kepalsuan Aksioma XI Euklid (tidak pernah diputuskan sebelumnya)" (Faber 1983, pg. 161)
3. Greenberg mengutip W. Prenowitz dan M. Jordan (Greenberg, p. Xvi) karena telah menggunakan istilah "geometri netral untuk merujuk ke bagian geometri Euclidean yang tidak bergantung pada postu paralel Euklid. Dia mengatakan bahwa kata absolut dalam geometri absolut secara menyesatkan menyiratkan bahwa semua geometri lain bergantung padanya.
4. Greenberg 2007, p. 163
5. Seseorang melihat ketidakcocokan geometri absolut dengan geometri elips, karena dalam teori terakhir semua segitiga memiliki jumlah sudut yang lebih besar dari 180°.
6. Faber 1983, p. 296
7. Memang, geometri absolut sebenarnya adalah perpotongan antara geometri hiperbolik dan geometri Euclidean jika keduanya dianggap sebagai himpunan proposisi.
8. Ewald, G. (1971), Geometry: An Introduction, Wadsworth
9. Coxeter 1969, pp. 175–6
10. Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "Relativitas Ruang-waktu. Prosiding Mekanika dan Elektromagnetik Geometri Non-Euklidean American Academy of Arts and Sciences 48:387–507
11. Synthetic Spacetime, sebuah intisari dari aksioma yang digunakan, dan teorema dibuktikan, oleh Wilson dan Lewis. Diarsipkan oleh WebCite
12. Hartshorne 2005, p.97
13. Greenberg 2010, p.200

Referensi

• Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (edisi ke-2nd), New York: John Wiley & Sons
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Greenberg, Marvin Jay (2007), Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History (edisi ke-4th), New York: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
• Greenberg, Marvin Jay (2010), "Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries" (PDF), Mathematical Association of America Monthly, 117: 198–219, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-03-27, diakses tanggal 2020-10-05
• Hartshorne, Robin (2005), Geometry: Euclid and Beyond, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
• Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

Pranala luar

• Media tentang Absolute geometry di Wikimedia Commons
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Absolute Geometry". MathWorld.