Loading AI tools
Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Dalam matematika, akar satuan (bahasa Inggris: root of unity),[lower-alpha 1] berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.
Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. |
Akar satuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan
Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah
Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n, sebab
Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-n:
Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika xm = 1 dan yn = 1, maka (x−1)m = 1, dan (xy)k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.
Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.
Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n. Oleh karena itu, akar satuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.
Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah
Substitusi x = 2πn menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu
akan tetapi
untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,
merupakan akar satuan primitif ke-n.
Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).
yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk
Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.